Номер 35, страница 206 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

35. Какое наименьшее количество любых натуральных чисел надо взять, чтобы среди них всегда нашлось 2 числа, разность которых делится на 5?

Для решения этой задачи воспользуемся принципом Дирихле. Условие, что разность двух чисел, скажем $a$ и $b$, делится на 5, равносильно тому, что эти числа имеют одинаковый остаток при делении на 5. Это можно записать с помощью сравнения по модулю: $a \equiv b \pmod{5}$.

Следовательно, нам нужно найти наименьшее количество натуральных чисел, чтобы среди них гарантированно нашлись два с одинаковым остатком при делении на 5.

При делении любого натурального числа на 5 возможны ровно 5 различных остатков: 0, 1, 2, 3, 4. Эти 5 остатков можно рассматривать как 5 «ящиков» (или «клеток»). Числа, которые мы выбираем, — это «предметы» (или «кролики»), которые мы распределяем по этим ящикам в зависимости от их остатка.

Согласно принципу Дирихле, если количество предметов превышает количество ящиков, то как минимум в одном ящике окажется более одного предмета. Чтобы гарантировать, что два числа попадут в один «ящик» (т.е. будут иметь одинаковый остаток), нам нужно взять количество чисел, на единицу большее, чем количество возможных остатков.

Поскольку у нас 5 возможных остатков («ящиков»), наименьшее количество чисел, которое необходимо взять, составляет:
$5 + 1 = 6$

Таким образом, если мы возьмем 6 любых натуральных чисел, по крайней мере два из них будут иметь одинаковый остаток при делении на 5, а значит, их разность будет делиться на 5. Если же взять 5 чисел, то можно подобрать их так, чтобы все остатки были разными (например, числа 1, 2, 3, 4, 5), и условие не выполнялось бы.

Ответ: 6