Номер 1.114, страница 30, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1.114 Практическая работа

Оборудование: линейка, карандаш, циркуль, транспортир.

Порядок работы:

1) Проведите окружность и её диаметр AB.

2) На окружности отметьте точки K, L, M и N.

3) Соедините точки K, L, M и N с точками A и B.

4) Измерьте углы AKB, ALB, AMB и ANB. Сделайте предположение о величине этих углов.

5) Ответьте на вопрос: «Как построить прямой угол, имея только линейку и циркуль?»

1)–3) Выполним построение по шагам: проведём окружность с центром $O$ и диаметром $AB$, отметим на ней точки $K$, $L$, $M$, $N$ и соединим их с концами диаметра $A$ и $B$ отрезочками.

4) С помощью транспортира измерим градусные меры получившихся углов:

$\angle AKB = 90^\circ$;

$\angle ALB = 90^\circ$;

$\angle AMB = 90^\circ$;

$\angle ANB = 90^\circ$.

Предположение: все углы, опирающиеся на диаметр окружности, являются прямыми (их величина равна $90^\circ$).

5) Алгоритм построения прямого угла с помощью циркуля и линейки:

1. С помощью циркуля построить окружность произвольного радиуса.

2. С помощью линейки провести диаметр окружности через её центр.

3. Отметить на окружности любую точку (не совпадающую с концами диаметра) и соединить её с концами диаметра.

Угол с вершиной в этой точке будет прямым ($90^\circ$).

1), 2), 3)

Для выполнения этих пунктов необходимо взять циркуль, карандаш и линейку. Сначала с помощью циркуля чертим окружность произвольного радиуса. Отметим ее центр точкой $O$. Затем, используя линейку, проводим через центр $O$ прямую линию до пересечения с окружностью в двух точках. Обозначим эти точки $A$ и $B$. Полученный отрезок $AB$ является диаметром окружности. Далее на линии окружности произвольно выбираем четыре точки, не совпадающие с $A$ и $B$, и обозначаем их $K$, $L$, $M$ и $N$. Наконец, с помощью линейки соединяем каждую из этих четырех точек с точками $A$ и $B$. В результате получаются четыре треугольника: $\Delta AKB$, $\Delta ALB$, $\Delta AMB$ и $\Delta ANB$.

4)

С помощью транспортира измерим углы $\angle AKB$, $\angle ALB$, $\angle AMB$ и $\angle ANB$, образованные в предыдущем задании. В результате измерений мы заметим, что все эти углы, несмотря на разное расположение точек $K$, $L$, $M$ и $N$ на окружности, равны $90^\circ$ (возможны небольшие погрешности из-за неточности инструментов и построений).

Предположение: любой вписанный в окружность угол, который опирается на ее диаметр, является прямым, то есть его величина равна $90^\circ$.

Это предположение является верным и представляет собой известную теорему геометрии (теорема Фалеса). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Диаметр $AB$ стягивает дугу, равную половине окружности, то есть $180^\circ$. Следовательно, любой угол, опирающийся на эту дугу (например, $\angle AKB$), будет равен $180^\circ / 2 = 90^\circ$.

Ответ: Величина каждого из углов $\angle AKB, \angle ALB, \angle AMB$ и $\angle ANB$ равна $90^\circ$.

5)

Основываясь на выводе, сделанном в пункте 4, можно построить прямой угол, используя только линейку без делений (прямой край) и циркуль. Для этого нужно выполнить следующие шаги:

1. С помощью линейки начертить произвольную прямую и отметить на ней две любые точки, $A$ и $B$.
2. Найти середину отрезка $AB$. Для этого:
   • Раствором циркуля, большим половины длины отрезка $AB$, провести дугу с центром в точке $A$.
   • Тем же раствором циркуля провести дугу с центром в точке $B$ так, чтобы она пересеклась с первой дугой в двух точках (над и под отрезком $AB$).
   • Через эти две точки пересечения провести прямую с помощью линейки. Точка, в которой эта прямая пересечет отрезок $AB$, будет его серединой. Обозначим ее $O$.
3. Установить иглу циркуля в точку $O$, а карандаш — в точку $A$ (или $B$).
4. Начертить окружность (или хотя бы полуокружность) с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
5. Выбрать любую точку на этой окружности (или полуокружности) и обозначить ее $C$.
6. Соединить точку $C$ с точками $A$ и $B$ при помощи линейки.

Угол $\angle ACB$, который мы построили, будет прямым ($90^\circ$), так как он является вписанным углом, опирающимся на диаметр $AB$.

Ответ: Чтобы построить прямой угол, нужно начертить окружность, провести ее диаметр, отметить на окружности любую точку и соединить ее с концами диаметра. Полученный угол будет прямым.