Номер 2.55, страница 49, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.55 Определите, чётным или нечётным числом будет результат действия в каждом случае ($a$ и $c$ — натуральные числа).

Вспомним свойства чётности при умножении натуральных чисел:

• Произведение двух чётных чисел всегда чётно: $\text{чёт} {\cdot} \text{чёт} = \text{чёт}$ (например, $2 {\cdot} 4 = 8$).
• Произведение чётного и нечётного чисел всегда чётно: $\text{чёт} {\cdot} \text{нечёт} = \text{чёт}$ (например, $2 {\cdot} 3 = 6$).
• Произведение двух нечётных чисел всегда нечётно: $\text{нечёт} {\cdot} \text{нечёт} = \text{нечёт}$ (например, $3 {\cdot} 5 = 15$).

Заполним таблицу:

1

Множитель a — чётный, множитель c — чётный.
Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2k$, где $k$ — натуральное число. Пусть $a = 2k$ и $c = 2m$. Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k) \cdot (2m) = 4km = 2(2km)$. Поскольку результат является произведением числа 2 и натурального числа $(2km)$, он является чётным.
Ответ: чётное.

2

Множитель a — чётный, множитель c — нечётный.
Пусть чётное число $a = 2k$ (где $k$ — натуральное число), а нечётное число $c = 2m+1$ (где $m$ — целое неотрицательное число). Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k) \cdot (2m+1) = 4km + 2k = 2(2km+k)$. Поскольку результат является произведением числа 2 и натурального числа $(2km+k)$, он является чётным.
Ответ: чётное.

3

Множитель a — нечётный, множитель c — нечётный.
Любое нечётное натуральное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число. Пусть $a = 2k+1$ и $c = 2m+1$. Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k+1) \cdot (2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km+k+m) + 1$. Результат представлен в форме $2n+1$, где $n = 2km+k+m$ — целое неотрицательное число. Следовательно, произведение является нечётным.
Ответ: нечётное.

4

Множитель a — нечётный, множитель c — чётный.
Этот случай симметричен второму, так как умножение коммутативно ($a \cdot c = c \cdot a$). Пусть нечётное число $a = 2k+1$ (где $k$ — целое неотрицательное число), а чётное число $c = 2m$ (где $m$ — натуральное число). Тогда их произведение равно $a \cdot c = (2k+1) \cdot (2m) = 4km + 2m = 2(2km+m)$. Поскольку результат является произведением числа 2 и натурального числа $(2km+m)$, он является чётным.
Ответ: чётное.