Номер 4*, страница 31, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4* Чтобы успеть довезти пассажиров в аэропорт вовремя, таксист планировал ехать со скоростью $60 \text{ км/ч}$. Из-за аварии на дороге он $10 \text{ мин}$ ехал со скоростью $24 \text{ км/ч}$, а затем он проехал $18 \text{ км}$ со скоростью $90 \text{ км/ч}$. Успел ли таксист довезти пассажиров вовремя, если всё оставшееся время ехал с запланированной скоростью?

1) Переведём $10\text{ мин}$ в часы и найдём расстояние, которое таксист проехал за это время со скоростью $24\text{ км/ч}$:

$10\text{ мин} = \dfrac{10}{60}\text{ ч} = \dfrac{\overset{1}{\cancel{10}}}{\underset{6}{\cancel{60}}}\text{ ч} = \dfrac{1}{6}\text{ ч}$

$24 {\cdot} \dfrac{1}{6} = \dfrac{\overset{4}{\cancel{24}}}{\underset{1}{\cancel{6}}} = 4\text{ (км)}$

2) Найдём время, затраченное на второй участок пути ($18\text{ км}$ со скоростью $90\text{ км/ч}$):

$\dfrac{18}{90} = \dfrac{\overset{1}{\cancel{18}}}{\underset{5}{\cancel{90}}} = \dfrac{1}{5}\text{ (ч)}$

$\dfrac{1}{5}\text{ ч} = \dfrac{1}{\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} \overset{12}{\cancel{60}}\text{ мин} = 12\text{ (мин)}$

3) Найдём общее расстояние, пройденное за первые два участка, и общее фактическое время на их преодоление:

$4 + 18 = 22\text{ (км)}$

$10 + 12 = 22\text{ (мин)}$

4) Вычислим, сколько времени планировалось потратить на эти $22\text{ км}$ при запланированной скорости $60\text{ км/ч}$:

$\dfrac{22}{60}\text{ ч} = \dfrac{22}{\underset{1}{\cancel{60}}} {\cdot} \overset{1}{\cancel{60}}\text{ мин} = 22\text{ (мин)}$

Так как на преодоление первых $22\text{ км}$ таксист фактически затратил столько же времени, сколько планировал ($22\text{ мин} = 22\text{ мин}$), а весь оставшийся путь он ехал с запланированной скоростью, он не отстал от графика.

Ответ: да, таксист успел довезти пассажиров вовремя.

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сравнить общее время, которое таксист фактически затратил на поездку, с временем, которое он планировал потратить. Поскольку общая дистанция нам неизвестна, мы сравним затраченное и плановое время на тех участках пути, где скорость движения отличалась от запланированной.

1. Рассчитаем параметры первого участка пути (из-за аварии).

Таксист ехал 10 минут со скоростью 24 км/ч. Сначала переведем время в часы, чтобы единицы измерения были согласованы: $t_1 = 10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$.

Теперь найдем расстояние, которое он проехал за это время по формуле $S = v \cdot t$: $S_1 = 24 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{6} \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

2. Рассчитаем параметры второго участка пути.

Таксист проехал 18 км со скоростью 90 км/ч. Найдем время, которое он на это потратил: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18 \text{ км}}{90 \text{ км/ч}} = \frac{1}{5} \text{ ч}$.

Для удобства дальнейших расчетов переведем это время в минуты: $t_2 = \frac{1}{5} \text{ ч} = \frac{1}{5} \cdot 60 \text{ мин} = 12 \text{ мин}$.

3. Найдем общее расстояние и время, затраченное на этих двух участках.

Общее расстояние, пройденное с измененной скоростью: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 4 \text{ км} + 18 \text{ км} = 22 \text{ км}$.

Общее время, фактически затраченное на это расстояние: $t_{факт} = t_1 + t_2 = 10 \text{ мин} + 12 \text{ мин} = 22 \text{ мин}$.

4. Рассчитаем, сколько времени таксист должен был потратить на это же расстояние по плану.

Плановая скорость таксиста была $v_{план} = 60 \text{ км/ч}$. Найдем плановое время на преодоление 22 км: $t_{план} = \frac{S_{общ}}{v_{план}} = \frac{22 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = \frac{22}{60} \text{ ч}$.

Переведем это время в минуты: $t_{план} = \frac{22}{60} \text{ ч} \cdot 60 \frac{\text{мин}}{\text{ч}} = 22 \text{ мин}$.

5. Сделаем вывод.

Сравниваем фактическое время, потраченное на первые 22 км пути, с плановым: $t_{факт} = 22 \text{ мин}$ $t_{план} = 22 \text{ мин}$ Время совпадает: $t_{факт} = t_{план}$.

Это означает, что потеря времени на участке с медленной скоростью была полностью компенсирована на участке с высокой скоростью. Поскольку оставшуюся часть пути таксист ехал с запланированной скоростью, общее время поездки не изменилось.

Ответ: да, таксист успел довезти пассажиров вовремя.