Номер 58, страница 132, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

П.58 От причала осуществили сплав леса со скоростью $5 \text{ км/ч}$. Через $4 \text{ ч}$ вслед за ним вышла баржа, собственная скорость которой равна $14 \text{ км/ч}$. На каком расстоянии от причала баржа догонит сплав?

1) $5 {\cdot} 4 = 20$ (км) — расстояние, которое проплыл лес за $4$ ч (скорость течения реки равна скорости сплава леса);

2) Скорость сближения баржи и сплава равна собственной скорости баржи, так как оба плывут по течению:

$v_{\text{сбл}} = (v_{\text{соб}} + v_{\text{теч}}) - v_{\text{теч}} = v_{\text{соб}} = 14$ (км/ч);

3) $20 : 14 = \dfrac{\overset{10}{\cancel{20}}}{\underset{7}{\cancel{14}}} = \dfrac{10}{7}$ (ч) — время, за которое баржа догонит сплав леса;

4) $14 + 5 = 19$ (км/ч) — скорость баржи по течению реки;

5) $19 {\cdot} \dfrac{10}{7} = \dfrac{190}{7} = 27\dfrac{1}{7}$ (км) — расстояние от причала, на котором баржа догонит сплав.

Ответ: $27\dfrac{1}{7}$ км.

Для решения этой задачи нам необходимо определить скорости обоих объектов относительно берега и использовать их для нахождения времени и места встречи.

1. Определение скоростей.
Скорость сплава леса равна скорости течения реки, так как лес просто плывет по течению.
$v_{сплава} = v_{течения} = 5$ км/ч.
Баржа движется по течению, поэтому ее скорость относительно берега (причала) равна сумме ее собственной скорости и скорости течения реки.
$v_{баржи} = v_{собственная} + v_{течения} = 14 \text{ км/ч} + 5 \text{ км/ч} = 19$ км/ч.

2. Определение начального расстояния.
Баржа вышла через 4 часа после начала сплава. За это время сплав уже отошел от причала на некоторое расстояние. Найдем это расстояние:
$S_{фора} = v_{сплава} \times t_{фора} = 5 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 20$ км.

3. Нахождение времени до встречи.
Когда баржа вышла из причала, расстояние между ней и сплавом составляло 20 км. Баржа догоняет сплав, поэтому их относительная скорость (скорость сближения) равна разности их скоростей.
$v_{сближения} = v_{баржи} - v_{сплава} = 19 \text{ км/ч} - 5 \text{ км/ч} = 14$ км/ч.
Теперь можно найти время, которое потребуется барже, чтобы догнать сплав (преодолеть начальное расстояние в 20 км со скоростью сближения 14 км/ч).
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сближения}} = \frac{20 \text{ км}}{14 \text{ км/ч}} = \frac{10}{7}$ ч.

4. Нахождение расстояния от причала.
Мы нашли время, которое баржа будет в пути до момента встречи. Чтобы найти, на каком расстоянии от причала это произойдет, умножим скорость баржи на время ее движения.
$S = v_{баржи} \times t_{встречи} = 19 \text{ км/ч} \times \frac{10}{7} \text{ ч} = \frac{190}{7}$ км.
Для удобства представим результат в виде смешанной дроби:
$\frac{190}{7} = 27 \frac{1}{7}$ км.

Ответ: баржа догонит сплав на расстоянии $27 \frac{1}{7}$ км от причала.