Номер 1.59, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.59*. Приведите рациональную дробь к несократимой дроби:

a) $ \frac{3x^4 - 12x^3 + 12x^2}{4x - x^3} $;

б) $ \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^3 - 2x^2 - x + 2} $.

а) $ \frac{3x^4 - 12x^3 + 12x^2}{4x - x^3} $

1. Разложим числитель:
   Вынесем общий множитель $3x^2$:
   $3x^2(x^2 - 4x + 4)$.
   Заметим внутри скобок полный квадрат: $(x - 2)^2$.
   Итого числитель: $3x^2(x - 2)^2$.
2. Разложим знаменатель:
   Вынесем общий множитель $x$:
   $x(4 - x^2)$.
   Применим формулу разности квадратов: $x(2 - x)(2 + x)$.
3. Сократим дробь:
   $$\frac{3x^2(x - 2)^2}{x(2 - x)(2 + x)}$$
   Заметим, что $(x - 2)^2 = (2 - x)^2$. Сокращаем на $x$ и на $(2 - x)$:
   $$\frac{3x(2 - x)}{2 + x} = \frac{6x - 3x^2}{x + 2}$$

Ответ: $ \frac{3x(2 - x)}{x + 2} $ при $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$.

б) $ \frac{x^4 + 2x^2 - 3}{x^3 - 2x^2 - x + 2} $

1. Разложим числитель (биквадратное выражение):
   Пусть $x^2 = t$. Тогда $t^2 + 2t - 3 = 0$. Корни по теореме Виета: $t_1 = 1, t_2 = -3$.
   Значит, $x^4 + 2x^2 - 3 = (x^2 - 1)(x^2 + 3) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)$.
2. Разложим знаменатель (метод группировки):
   $x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x - 2)(x^2 - 1) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)$.
3. Сократим дробь:
   $$\frac{(x - 1)(x + 1)(x^2 + 3)}{(x - 2)(x - 1)(x + 1)}$$
   Сокращаем на $(x - 1)(x + 1)$:
   $$\frac{x^2 + 3}{x - 2}$$

Ответ: $ \frac{x^2 + 3}{x - 2} $ при $x \neq 2, x \neq 1, x \neq -1$.