номер 3, страница 46 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

3. Может ли при равнопеременном движении повториться значение модуля скорости тела? Приведите примеры.

3. Может ли при равнопеременном движении повториться значение модуля скорости тела? Приведите примеры.

Решение

Да, при равнопеременном движении значение модуля скорости тела может повториться. Равнопеременное движение характеризуется постоянным вектором ускорения $\vec{a}$. Скорость тела в любой момент времени $t$ определяется формулой:

$\vec{v}(t) = \vec{v_0} + \vec{a}t$

где $\vec{v_0}$ — начальная скорость.

Модуль скорости (или просто скорость) — это скалярная величина $v(t) = |\vec{v}(t)|$. Повторение значения модуля скорости означает, что существуют два различных момента времени $t_1$ и $t_2$, для которых $v(t_1) = v(t_2)$. Это возможно в случаях, когда вектор скорости изменяет свое направление.

Рассмотрим два характерных примера.

Пример 1: Прямолинейное движение с изменением направления.

Такое движение происходит, когда векторы начальной скорости $\vec{v_0}$ и ускорения $\vec{a}$ направлены в противоположные стороны. Тело сначала замедляется, его скорость уменьшается до нуля, а затем оно начинает двигаться в обратную сторону, и его скорость снова возрастает. В этом процессе тело будет иметь одинаковую по модулю скорость в два разных момента времени: один раз при движении в начальном направлении, а второй — при движении в обратном.

Классическим примером является тело, брошенное вертикально вверх. Пусть начальная скорость $v_0 = 10$ м/с, а ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$. Выберем ось OY, направленную вверх.

Проекция скорости на ось OY изменяется по закону $v_y(t) = v_0 - gt = 10 - 10t$ (в м/с). Модуль скорости равен $v(t) = |10 - 10t|$.

• В начальный момент $t_1 = 0$ с: $v(0) = |10| = 10$ м/с.
• Тело останавливается на максимальной высоте в момент $t = 1$ с.
• В момент времени $t_2 = 2$ с, проекция скорости $v_y(2) = 10 - 10 \cdot 2 = -10$ м/с. Модуль скорости $v(2) = |-10| = 10$ м/с.

Таким образом, в моменты времени $t_1 = 0$ с и $t_2 = 2$ с модуль скорости тела одинаков.

Пример 2: Криволинейное равнопеременное движение.

Этот тип движения возникает, когда векторы $\vec{v_0}$ и $\vec{a}$ не коллинеарны. Траекторией движения в этом случае является парабола. Скорость тела изменяется как по модулю, так и по направлению. Как правило, в процессе такого движения скорость достигает минимального значения, а затем снова возрастает.

Примером служит тело, брошенное под углом к горизонту. Пусть начальная скорость $v_0$ направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Вектор скорости $\vec{v}$ имеет составляющие $v_x(t) = v_0 \cos\alpha$ и $v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$.

Модуль скорости равен $v(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \sqrt{(v_0 \cos\alpha)^2 + (v_0 \sin\alpha - gt)^2}$.

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то на любой высоте $h$ (кроме максимальной) тело побывает дважды: один раз при подъеме, второй — при спуске. В силу симметрии траектории (и закона сохранения энергии) модуль скорости в этих двух точках будет одинаков. Например, в начальный момент $t_1 = 0$ и в конечный момент $t_2 = T$ (время полета до возвращения на исходную высоту) модуль скорости будет одинаковым и равным $v_0$.

Для $t_2=T=\frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$ имеем:

$v_y(T) = v_0 \sin\alpha - g \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} = -v_0 \sin\alpha$.

Тогда модуль скорости в момент $T$:

$v(T) = \sqrt{(v_0 \cos\alpha)^2 + (-v_0 \sin\alpha)^2} = \sqrt{v_0^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)} = v_0$.

Таким образом, $v(0) = v(T) = v_0$.

Ответ: Да, может. Например, при движении тела, брошенного вертикально вверх, его скорость (модуль вектора скорости) на определенной высоте будет одинаковой при движении вверх и при движении вниз. Другой пример — тело, брошенное под углом к горизонту; его скорость будет одинаковой в точках траектории, находящихся на одной высоте, например, в точке старта и в точке приземления (на той же высоте).