Номер 1.184, страница 40, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1.184 В классе 7 человек хорошо умеют плавать. Сколькими способами из них можно отобрать трёх человек для участия в школьных соревнованиях?

Так как порядок выбора участников команды не имеет значения, количество способов отобрать трёх человек из семи равно числу сочетаний из $7$ по $3$ ($C_7^3$).

Формула числа сочетаний:

$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$

Вычислим количество способов для $n = 7$ и $k = 3$:

$C_7^3 = \dfrac{7!}{3! {\cdot} (7 - 3)!} = \dfrac{7!}{3! {\cdot} 4!} =$
$= \dfrac{7 {\cdot} 6 {\cdot} 5 {\cdot} \cancel{4!}}{(3 {\cdot} 2 {\cdot} 1) {\cdot} \cancel{4!}} = \dfrac{7 {\cdot} \overset{1}{\cancel{6}} {\cdot} 5}{\underset{1}{\cancel{6}}} = 7 {\cdot} 5 = 35$

Ответ: $35$ способов.

В этой задаче нам необходимо найти количество способов выбрать 3 человека из 7. Поскольку порядок выбора людей для команды не важен (команда из Иванова, Петрова и Сидорова — это та же самая команда, что и из Петрова, Сидорова и Иванова), мы имеем дело с сочетаниями.

Количество сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае:
$n = 7$ (всего человек, умеющих хорошо плавать).
$k = 3$ (количество человек, которых нужно отобрать в команду).

Подставляем эти значения в формулу:
$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!}$

Производим расчет:
$C_7^3 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$

Следовательно, существует 35 способов отобрать трёх человек для участия в соревнованиях.

Ответ: 35