Номер 2.17, страница 45, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.17 Делится ли число $n$ на число $m$ нацело, если:

a) $n = 2{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}7$ и $m = 2{\cdot}2{\cdot}7$;

б) $n = 2{\cdot}5{\cdot}5{\cdot}17{\cdot}17$ и $m = 2{\cdot}3{\cdot}5$;

в) $n = 3{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}19$ и $m = 3{\cdot}3{\cdot}7{\cdot}19$;

г) $n = 2{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}7{\cdot}7$ и $m = 35$;

д) $n = 2{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}11$ и $m = 308$;

е) $n = 2{\cdot}2{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}5{\cdot}11$ и $m = 1000$?

а) $\dfrac{n}{m} = \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{7}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{7}}}} = 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 = 315$ — делится нацело.

б) $\dfrac{n}{m} = \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 5 {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 17 {\cdot} 17}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 3 {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{5}}}} = \dfrac{5 {\cdot} 17 {\cdot} 17}{3}$ — не делится нацело (в разложении числа $n$ нет множителя $3$).

в) $\dfrac{n}{m} = \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} 5 {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} {\color{orange}\overset{1}{\cancel{19}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} {\color{orange}\underset{1}{\cancel{19}}}} = 5$ — делится нацело.

г) Разложим число $m$ на простые множители: $m = 35 = 5 {\cdot} 7$.

$\dfrac{n}{m} = \dfrac{2 {\cdot} 3 {\cdot} {\color{red}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} 7 {\cdot} 7}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{7}}}} = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 7 {\cdot} 7 = 294$ — делится нацело.

д) Разложим число $m$ на простые множители: $m = 308 = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 7 {\cdot} 11$.

$\dfrac{n}{m} = \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} {\color{orange}\overset{1}{\cancel{11}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} {\color{orange}\underset{1}{\cancel{11}}}} = 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 = 45$ — делится нацело.

е) Разложим число $m$ на простые множители: $m = 1000 = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 5 {\cdot} 5 {\cdot} 5$.

$\dfrac{n}{m} = \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 3 {\cdot} {\color{orange}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} {\color{purple}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 11}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{orange}\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} {\color{purple}\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 5} = \dfrac{3 {\cdot} 11}{5} = \dfrac{33}{5}$ — не делится нацело (в разложении числа $n$ содержится только две пятёрки, а в числе $m$ — три).

а) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 2 \cdot 2 \cdot 7$. Чтобы число $n$ делилось нацело на число $m$, необходимо и достаточно, чтобы все простые множители, входящие в разложение числа $m$, входили также и в разложение числа $n$, причем степень каждого множителя в разложении $m$ должна быть не больше его степени в разложении $n$. Разложение числа $n$ на простые множители в степенной форме: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 \cdot 7^2$. Разложение числа $m$ на простые множители в степенной форме: $m = 2^2 \cdot 7^1$. Сравним множители числа $m$ с множителями числа $n$:

• Простой множитель 2 входит в разложение $m$ во 2-й степени, а в разложение $n$ — во 2-й степени. Поскольку $2 \ge 2$, условие выполняется.
• Простой множитель 7 входит в разложение $m$ в 1-й степени, а в разложение $n$ — во 2-й степени. Поскольку $1 \le 2$, условие выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

б) Даны числа $n = 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 17$ и $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Разложение числа $n$ на простые множители: $n = 2 \cdot 5^2 \cdot 17^2$. Разложение числа $m$ на простые множители: $m = 2 \cdot 3 \cdot 5$. Для того чтобы $n$ делилось на $m$, все простые множители $m$ должны присутствовать в разложении $n$. В разложении числа $m$ есть простой множитель 3, которого нет в разложении числа $n$. Следовательно, число $n$ не делится на $m$ нацело.
Ответ: нет, не делится.

в) Даны числа $n = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$ и $m = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19$. Разложение числа $n$ на простые множители: $n = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$. Разложение числа $m$ на простые множители: $m = 3^2 \cdot 7 \cdot 19$. Проверим, входят ли все простые множители $m$ в разложение $n$ в достаточной степени:

• Множитель 3: в $m$ степень 2, в $n$ степень 2. Условие $2 \ge 2$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 19: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

г) Даны числа $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ и $m = 35$. Сначала разложим число $m$ на простые множители: $m = 35 = 5 \cdot 7$. Разложение числа $n$: $n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7^3$. Разложение числа $m$: $m = 5^1 \cdot 7^1$. Сравним множители:

• Множитель 5: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 3. Условие $1 \le 3$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

д) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ и $m = 308$. Разложим число $m$ на простые множители: $m = 308 = 2 \cdot 154 = 2 \cdot 2 \cdot 77 = 2^2 \cdot 7 \cdot 11$. Разложение числа $n$: $n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$. Разложение числа $m$: $m = 2^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1$. Сравним множители:

• Множитель 2: в $m$ степень 2, в $n$ степень 2. Условие $2 \ge 2$ выполняется.
• Множитель 7: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.
• Множитель 11: в $m$ степень 1, в $n$ степень 1. Условие $1 \ge 1$ выполняется.

Все простые множители числа $m$ содержатся в разложении числа $n$ в не меньших степенях. Следовательно, число $n$ делится на $m$ нацело.
Ответ: да, делится.

е) Даны числа $n = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$ и $m = 1000$. Разложим число $m$ на простые множители: $m = 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3$. Разложение числа $n$: $n = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11$. Разложение числа $m$: $m = 2^3 \cdot 5^3$. Сравним множители:

• Множитель 2: в $m$ степень 3, в $n$ степень 3. Условие $3 \ge 3$ выполняется.
• Множитель 5: в $m$ степень 3, а в $n$ — степень 2. Условие $3 \ge 2$ не выполняется, так как степень множителя 5 в $m$ больше, чем в $n$ ($3 > 2$).

Поскольку не для всех простых множителей числа $m$ выполняется условие, число $n$ не делится на $m$ нацело.
Ответ: нет, не делится.