Номер 2.23, страница 46, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.23 Припишите к числу 1000 по одной цифре справа и слева так, чтобы число делилось на 2, 3, 6 и 9.

Пусть к числу $1000$ слева приписали цифру $a$ ($a \neq 0$), а справа — цифру $b$. Получилось шестизначное число $\overline{a1000b}$.

Число должно делиться на $2$, $3$, $6$ и $9$. Если число делится на $2$ и на $9$, то оно автоматически делится на $3$ и на $6$ (так как $\text{НОК}(2, 3, 6, 9) = 18$).

1. Число делится на $2$, если его последняя цифра четная, то есть $b$ может принимать значения: $0, 2, 4, 6, 8$.

2. Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$:

$a + 1 + 0 + 0 + 0 + b = a + b + 1$

Сумма $a + b + 1$ может быть равна $9$ или $18$:

• Если $b = 0$, то $a + 0 + 1 =$
  $= 9 \implies a = 8$ (получаем число $810000$).
• Если $b = 2$, то $a + 2 + 1 =$
  $= 9 \implies a = 6$ (получаем число $610002$).
• Если $b = 4$, то $a + 4 + 1 =$
  $= 9 \implies a = 4$ (получаем число $410004$).
• Если $b = 6$, то $a + 6 + 1 =$
  $= 9 \implies a = 2$ (получаем число $210006$).
• Если $b = 8$, то $a + 8 + 1 =$
  $= 18 \implies a = 9$ (получаем число $910008$).

Ответ: $810000$, $610002$, $410004$, $210006$, $910008$ (достаточно указать любое из них).

Обозначим цифру, приписываемую слева, как $a$, а цифру, приписываемую справа, как $b$. Исходное число — 1000. Новое число будет иметь вид $\overline{a1000b}$. Согласно условию, цифра $a$ не может быть нулем, так как она стоит на первом месте, поэтому $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра $b$ может быть любой, то есть $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Полученное число должно делиться на 2, 3, 6 и 9. Проанализируем условия делимости:

• Если число делится на 9, то оно автоматически делится и на 3 (так как 9 кратно 3).
• Если число делится на 2 и на 3, то оно делится и на 6.

Следовательно, достаточно, чтобы искомое число делилось одновременно на 2 и на 9.

Условие делимости на 2. Число должно оканчиваться на четную цифру. В нашем числе $\overline{a1000b}$ последняя цифра — это $b$. Значит, $b$ может быть одной из цифр: $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

Условие делимости на 9. Сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр числа $\overline{a1000b}$ равна $S = a + 1 + 0 + 0 + 0 + b = a + b + 1$. Значит, $a + b + 1$ должно быть кратно 9.

Объединим условия и найдем все возможные пары $(a, b)$. Сумма $a + b + 1$ находится в диапазоне от $a_{min}+b_{min}+1=1+0+1=2$ до $a_{max}+b_{max}+1=9+8+1=18$. Единственные кратные 9 в этом диапазоне — это 9 и 18.

Случай 1: $a + b + 1 = 9$. Из этого следует, что $a + b = 8$. Учитывая, что $b$ — четное, а $a \ne 0$, переберем варианты:

• Если $b=0$, то $a=8$. Получаем число 81000.
• Если $b=2$, то $a=6$. Получаем число 610002.
• Если $b=4$, то $a=4$. Получаем число 410004.
• Если $b=6$, то $a=2$. Получаем число 210006.

Случай 2: $a + b + 1 = 18$. Из этого следует, что $a + b = 17$. Учитывая, что $b$ — четное, а $a \le 9$, переберем варианты:

• Если $b=8$, то $a=9$. Получаем число 910008.
• Для других четных $b$ значение $a$ будет больше 9, что невозможно.

Ответ: Существует 5 таких чисел: 81000, 610002, 410004, 210006, 910008. Любое из этих чисел является правильным ответом.