Номер 2.26, страница 46, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.26 Поставьте вместо знака вопроса цифру так, чтобы число делилось без остатка на 3 и на 5: а) $25\text{?}5$; б) $3174\text{?}$; в) $133\text{?}$.

Число делится на $5$, если его последняя цифра $0$ или $5$. Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.

а) $25?5$

Число оканчивается на цифру $5$, поэтому оно делится на $5$ при любой вставленной цифре.

Найдем сумму известных цифр: $2 + 5 + 5 = 12$.

Число $12$ делится на $3$, значит, сумма $12 + x$ будет делиться на $3$, если вместо знака вопроса подставить цифру $0$, $3$, $6$ или $9$.

Получаем числа: $2505$, $2535$, $2565$, $2595$.

б) $3174?$

Чтобы число делилось на $5$, вместо знака вопроса можно поставить только цифру $0$ или $5$:

1) Если поставить $0$: сумма цифр равна $3 + 1 + 7 + 4 + 0 = 15$. Число $15$ делится на $3$, значит, число $31740$ делится и на $3$, и на $5$.

2) Если поставить $5$: сумма цифр равна $3 + 1 + 7 + 4 + 5 = 20$. Число $20$ не делится на $3$.

Подходит цифра $0$ (число $31740$).

в) $133?$

Чтобы число делилось на $5$, вместо знака вопроса можно поставить только цифру $0$ или $5$:

1) Если поставить $0$: сумма цифр равна $1 + 3 + 3 + 0 = 7$. Число $7$ не делится на $3$.

2) Если поставить $5$: сумма цифр равна $1 + 3 + 3 + 5 = 12$. Число $12$ делится на $3$, значит, число $1335$ делится и на $3$, и на $5$.

Подходит цифра $5$ (число $1335$).

Ответ:

а) цифры $0$, $3$, $6$ или $9$;

б) цифра $0$;

в) цифра $5$.

Чтобы число делилось одновременно на 3 и на 5, оно должно удовлетворять признакам делимости на оба этих числа.

Признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) 25?5

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Получаем число вида $25x5$.

1. Проверка делимости на 5. Число оканчивается на 5, следовательно, оно в любом случае делится на 5.

2. Проверка делимости на 3. Сумма цифр числа должна быть кратна 3. Найдем сумму цифр: $S = 2 + 5 + x + 5 = 12 + x$.

Выражение $12 + x$ должно делиться на 3. Поскольку число 12 уже делится на 3, то и $x$ должен быть цифрой, кратной 3. Среди цифр от 0 до 9 такими являются 0, 3, 6 и 9.

Следовательно, вместо знака вопроса можно подставить любую из этих цифр.

Ответ: 0, 3, 6, 9.

б) 3174?

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Получаем число вида $3174x$.

1. Проверка делимости на 5. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра $x$ должна быть 0 или 5.

2. Проверка делимости на 3. Сумма цифр числа $S = 3 + 1 + 7 + 4 + x = 15 + x$ должна делиться на 3.

Рассмотрим два возможных варианта для $x$:

- Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 15 + 0 = 15$. Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Этот вариант подходит.

- Если $x = 5$, то сумма цифр $S = 15 + 5 = 20$. Число 20 не делится на 3 без остатка. Этот вариант не подходит.

Таким образом, единственная подходящая цифра — 0.

Ответ: 0.

в) 133?

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Получаем число вида $133x$.

1. Проверка делимости на 5. Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра $x$ должна быть 0 или 5.

2. Проверка делимости на 3. Сумма цифр числа $S = 1 + 3 + 3 + x = 7 + x$ должна делиться на 3.

Рассмотрим два возможных варианта для $x$:

- Если $x = 0$, то сумма цифр $S = 7 + 0 = 7$. Число 7 не делится на 3 без остатка. Этот вариант не подходит.

- Если $x = 5$, то сумма цифр $S = 7 + 5 = 12$. Число 12 делится на 3 ($12 \div 3 = 4$). Этот вариант подходит.

Таким образом, единственная подходящая цифра — 5.

Ответ: 5.