Номер 2.460, страница 105, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.460 Пятое из пяти чисел равно $21{,}5$, первое меньше второго в $1{,}6$ раза, третье больше первого в $2{,}1$ раза, а четвёртое больше первого в $1{,}8$ раза. Найдите эти пять чисел, если их среднее арифметическое равно $14{,}7$.

Пусть $x$ — первое число, тогда $1{,}6x$ — второе число, $2{,}1x$ — третье число, а $1{,}8x$ — четвёртое число.

Зная, что пятое число равно $21{,}5$, а среднее арифметическое всех пяти чисел равно $14{,}7$, составим и решим уравнение:

$(x + 1{,}6x + 2{,}1x + 1{,}8x + 21{,}5) : 5 =$

$= 14{,}7$

$(6{,}5x + 21{,}5) : 5 = 14{,}7$

$6{,}5x + 21{,}5 = 14{,}7 {\cdot} 5$

$6{,}5x + 21{,}5 = 73{,}5$

$6{,}5x = 73{,}5 - 21{,}5$

$6{,}5x = 52$

$x = 52 : 6{,}5$

$x = 8$ — первое число.

Найдем остальные числа:

$1{,}6 {\cdot} 8 = 12{,}8$ — второе число;

$2{,}1 {\cdot} 8 = 16{,}8$ — третье число;

$1{,}8 {\cdot} 8 = 14{,}4$ — четвёртое число.

Ответ: $8$; $12{,}8$; $16{,}8$; $14{,}4$; $21{,}5$.

Обозначим пять искомых чисел как $n_1, n_2, n_3, n_4$ и $n_5$.

Из условия задачи нам известны следующие факты:

Пятое число: $n_5 = 21,5$.

Для решения задачи выразим остальные четыре числа через одно неизвестное. Удобнее всего выразить их через первое число, $n_1$. Давайте обозначим $n_1 = x$.

- Первое число меньше второго в 1,6 раза. Это эквивалентно тому, что второе число больше первого в 1,6 раза. Следовательно, $n_2 = 1,6 \cdot n_1 = 1,6x$.

- Третье число больше первого в 2,1 раза: $n_3 = 2,1 \cdot n_1 = 2,1x$.

- Четвёртое число больше первого в 1,8 раза: $n_4 = 1,8 \cdot n_1 = 1,8x$.

Также нам известно, что среднее арифметическое этих пяти чисел равно 14,7. Среднее арифметическое находится по формуле:

$\frac{n_1 + n_2 + n_3 + n_4 + n_5}{5} = 14,7$

Чтобы найти неизвестную переменную $x$, сначала найдем сумму всех пяти чисел. Для этого умножим их среднее арифметическое на их количество:

Сумма чисел = $14,7 \cdot 5 = 73,5$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив выражения для каждого числа через $x$ и известное значение $n_5$:

$x + 1,6x + 2,1x + 1,8x + 21,5 = 73,5$

Сгруппируем и сложим все слагаемые с переменной $x$:

$(1 + 1,6 + 2,1 + 1,8)x + 21,5 = 73,5$

$6,5x + 21,5 = 73,5$

Теперь решим это линейное уравнение. Перенесем 21,5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$6,5x = 73,5 - 21,5$

$6,5x = 52$

Найдем $x$, разделив 52 на 6,5:

$x = \frac{52}{6,5} = \frac{520}{65} = 8$

Таким образом, мы нашли первое число: $n_1 = 8$.

Зная первое число, мы можем вычислить остальные:

Второе число: $n_2 = 1,6 \cdot 8 = 12,8$.
Третье число: $n_3 = 2,1 \cdot 8 = 16,8$.
Четвёртое число: $n_4 = 1,8 \cdot 8 = 14,4$.

Итак, искомые пять чисел: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.

Ответ: 8; 12,8; 16,8; 14,4; 21,5.