Номер 2.99, страница 56, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.99 Рассмотрите пары чисел: 9 и 13; 15 и 19; 24 и 35; 27 и 32.

а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?

б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.

а) Разложим числа на простые множители и найдём наибольший общий делитель для каждой пары:

$9 = 3 {\cdot} 3$

$13 = 13$

$\text{НОД}(9; 13) = 1$ — числа $9$ и $13$ являются взаимно простыми.

$15 = 3 {\cdot} 5$

$19 = 19$

$\text{НОД}(15; 19) = 1$ — числа $15$ и $19$ являются взаимно простыми.

$24 = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 3$

$35 = 5 {\cdot} 7$

$\text{НОД}(24; 35) = 1$ — числа $24$ и $35$ являются взаимно простыми.

$27 = 3 {\cdot} 3 {\cdot} 3$

$32 = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2$

$\text{НОД}(27; 32) = 1$ — числа $27$ и $32$ являются взаимно простыми.

Числа во всех представленных парах являются взаимно простыми.

б) Найдем наименьшее общее кратное для каждой пары чисел:

$\text{НОК}(9; 13) = 3 {\cdot} 3 {\cdot} 13 = 117 = 9 {\cdot} 13$

$\text{НОК}(15; 19) = 3 {\cdot} 5 {\cdot} 19 = 285 = 15 {\cdot} 19$

$\text{НОК}(24; 35) = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 =$
$= 840 = 24 {\cdot} 35$

$\text{НОК}(27; 32) = 3 {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 =$
$= 864 = 27 {\cdot} 32$

Предположение: наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

а)Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы определить, являются ли числа в каждой паре взаимно простыми, найдем их НОД, разложив числа на простые множители.

Пара 9 и 13:
Разложение на множители: $9 = 3^2$; 13 — простое число.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(9; 13) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 15 и 19:
Разложение на множители: $15 = 3 \cdot 5$; 19 — простое число.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(15; 19) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 24 и 35:
Разложение на множители: $24 = 2^3 \cdot 3$; $35 = 5 \cdot 7$.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(24; 35) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Пара 27 и 32:
Разложение на множители: $27 = 3^3$; $32 = 2^5$.
Общих простых множителей у чисел нет. Следовательно, $НОД(27; 32) = 1$. Числа являются взаимно простыми.

Ответ: Да, числа в каждой из представленных пар являются взаимно простыми.

б)Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел $a$ и $b$ связано с их наибольшим общим делителем (НОД) формулой: $НОК(a, b) \cdot НОД(a, b) = a \cdot b$.
Поскольку для всех заданных пар чисел $НОД(a, b) = 1$, то для них формула для нахождения НОК упрощается: $НОК(a, b) = a \cdot b$.
Найдем НОК для каждой пары:

Для пары 9 и 13:
$НОК(9; 13) = 9 \cdot 13 = 117$.

Для пары 15 и 19:
$НОК(15; 19) = 15 \cdot 19 = 285$.

Для пары 24 и 35:
$НОК(24; 35) = 24 \cdot 35 = 840$.

Для пары 27 и 32:
$НОК(27; 32) = 27 \cdot 32 = 864$.

Предположение: Если два числа взаимно простые, то их наименьшее общее кратное равно их произведению.

Ответ: $НОК(9; 13) = 117$; $НОК(15; 19) = 285$; $НОК(24; 35) = 840$; $НОК(27; 32) = 864$. Предположение: наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.