Номер 2.104, страница 57, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.104 Дроби $\dfrac{n}{20}$ и $\dfrac{c}{30}$, где $n$ и $c$ — натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?

Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной тогда и только тогда, когда в разложении её знаменателя на простые множители (после полного сокращения дроби) нет других простых множителей, кроме $2$ и $5$.

1) Для дроби $\dfrac{n}{20}$:

Разложим знаменатель на простые множители:

$20 = 2^2 {\cdot} 5$

Знаменатель содержит только множители $2$ и $5$, поэтому дробь $\dfrac{n}{20}$ можно перевести в десятичную при любом значении $n$. Значит, числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми (например, при $n = 3$: $\text{НОД}(3, 20) = 1$, а дробь $\dfrac{3}{20} = \dfrac{3 {\cdot} 5}{20 {\cdot} 5} = \dfrac{15}{100} = 0{,}15$).

2) Для дроби $\dfrac{c}{30}$:

Разложим знаменатель на простые множители:

$30 = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 5$

В знаменателе есть множитель $3$. Чтобы дробь переводилась в конечную десятичную, множитель $3$ должен сократиться, то есть числитель $c$ обязательно должен делиться на $3$. Это значит, что у чисел $c$ и $30$ есть общий делитель $3 \neq 1$. Следовательно, числитель и знаменатель дроби $\dfrac{c}{30}$ не могут быть взаимно простыми.

Ответ: для дроби $\dfrac{n}{20}$ — могут; для дроби $\dfrac{c}{30}$ — не могут.

Чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби после её сокращения не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5.

Рассмотрим дробь $\frac{n}{20}$.
Разложим её знаменатель на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Знаменатель 20 содержит только простые множители 2 и 5. Это значит, что любая дробь со знаменателем 20 может быть представлена в виде конечной десятичной. Теперь проверим, могут ли числитель и знаменатель быть взаимно простыми. Два числа являются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для того чтобы $НОД(n, 20) = 1$, число $n$ не должно иметь общих простых делителей с числом 20, то есть $n$ не должно делиться ни на 2, ни на 5. Такие натуральные числа $n$ существуют, например, $n=1$, $n=3$, $n=7$ и т.д.
Например, для дроби $\frac{3}{20}$ ($=0,15$) её числитель 3 и знаменатель 20 являются взаимно простыми числами.
Таким образом, для дроби $\frac{n}{20}$ числитель и знаменатель могут быть взаимно простыми.

Рассмотрим дробь $\frac{c}{30}$.
Разложим её знаменатель на простые множители: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$.
Знаменатель 30 содержит простой множитель 3. Для того чтобы дробь $\frac{c}{30}$ можно было представить в виде конечной десятичной, необходимо, чтобы после сокращения дроби множитель 3 в знаменателе исчез. Это возможно только в том случае, если числитель $c$ делится на 3.
Если числитель $c$ делится на 3, то и $c$, и знаменатель 30 имеют общий делитель, равный 3. Следовательно, их наибольший общий делитель $НОД(c, 30)$ не равен 1, а значит, они не являются взаимно простыми числами.
Таким образом, для дроби $\frac{c}{30}$ числитель и знаменатель не могут быть взаимно простыми при условии, что её можно представить в виде десятичной.

В задаче спрашивается, могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми. Поскольку для дроби $\frac{c}{30}$ это условие невыполнимо, то ответ на вопрос — нет.
Ответ: нет.