Номер 2.111, страница 57, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.111 Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9, если цифры не повторяются?

Всего дано $5$ нечётных цифр: $1$, $3$, $5$, $7$, $9$.

Составляем трёхзначное число без повторения цифр:

• первую цифру (сотни) можно выбрать $5$ способами;
• вторую цифру (десятки) можно выбрать из оставшихся $4$ способами;
• третью цифру (единицы) можно выбрать из оставшихся $3$ способами.

По правилу умножения найдем общее количество трёхзначных чисел:

$5 {\cdot} 4 {\cdot} 3 = 60$

Ответ: $60$ чисел.

Для решения этой задачи нужно определить количество способов составить трёхзначное число из пяти данных цифр (1, 3, 5, 7, 9) без их повторения. Это задача на размещения без повторений. Мы можем решить её, используя правило умножения.

Трёхзначное число состоит из трёх позиций: сотни, десятки и единицы.

1. На позицию сотен можно поставить любую из пяти предложенных цифр. Таким образом, у нас есть 5 вариантов выбора.

2. После того как мы выбрали цифру для сотен, на позицию десятков остаётся на одну цифру меньше, так как по условию цифры не должны повторяться. Следовательно, у нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.

3. Для позиции единиц остаётся ещё на одну цифру меньше, так как две цифры уже использованы. Таким образом, у нас остаётся $4 - 1 = 3$ варианта.

Чтобы найти общее количество возможных трёхзначных чисел, необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции:

Количество чисел = (варианты для сотен) × (варианты для десятков) × (варианты для единиц) = $5 \times 4 \times 3 = 60$.

Также можно использовать формулу для числа размещений без повторений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
В нашем случае, общее число доступных цифр $n = 5$, а мы составляем из них трёхзначные числа, то есть $k = 3$.

$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Ответ: 60.