Номер 2.108, страница 57, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.108 Для изготовления круглых подставок под цветы диаметром 15 см нужно сделать заготовки квадратной формы. Имеются пластмассовые листы размером 80 х 140 см, 105 × 145 см и 120 × 150 см. Какие из этих листов нужно взять, чтобы было меньше отходов?

Для изготовления круглой подставки диаметром $15\text{ см}$ требуется заготовка квадратной формы со стороной $15\text{ см}$, то есть размером $15 \times 15\text{ см}$.

Проверим, как делятся размеры каждого из листов на сторону заготовки ($15\text{ см}$):

1. Лист размером $80 \times 140\text{ см}$:

$80 : 15 = 5\text{ (ост. } 5)$

$140 : 15 = 9\text{ (ост. } 5)$

Остаются обрезки как по ширине ($5\text{ см}$), так и по длине ($5\text{ см}$).

2. Лист размером $105 \times 145\text{ см}$:

$105 : 15 = 7$

$145 : 15 = 9\text{ (ост. } 10)$

Остается обрезок по длине ($10\text{ см}$).

3. Лист размером $120 \times 150\text{ см}$:

$120 : 15 = 8$

$150 : 15 = 10$

Оба размера листа делятся на $15\text{ см}$ нацело, поэтому лист делится ровно на $8 {\cdot} 10 = 80$ квадратных заготовок без остатка (отходов листа не будет).

Ответ: нужно взять лист размером $120 \times 150\text{ см}$.

Для изготовления круглых подставок диаметром $15$ см необходимо вырезать их из квадратных заготовок. Минимальный размер такой квадратной заготовки равен диаметру круга, то есть $15 \times 15$ см. Площадь одной заготовки составляет $S_{заг} = 15 \times 15 = 225 \text{ см}^2$.

Чтобы определить, какой из листов пластика использовать выгоднее (с наименьшим количеством отходов), нужно рассчитать, сколько целых заготовок можно вырезать из каждого листа и какой процент площади листа при этом уйдет в отходы.

Общая площадь листа: $S_1 = 80 \times 140 = 11200 \text{ см}^2$.

Рассчитаем максимальное количество заготовок. По стороне 80 см поместится $\lfloor 80 / 15 \rfloor = 5$ заготовок. По стороне 140 см поместится $\lfloor 140 / 15 \rfloor = 9$ заготовок.

Всего можно изготовить: $N_1 = 5 \times 9 = 45$ заготовок.

Полезная площадь (использованная под заготовки): $S_{пол_1} = 45 \times 225 = 10125 \text{ см}^2$.

Площадь отходов: $S_{отх_1} = S_1 - S_{пол_1} = 11200 - 10125 = 1075 \text{ см}^2$.

Процент отходов: $\frac{1075}{11200} \times 100\% \approx 9,6\%$.

Общая площадь листа: $S_2 = 105 \times 145 = 15225 \text{ см}^2$.

Рассчитаем максимальное количество заготовок. По стороне 105 см поместится $\lfloor 105 / 15 \rfloor = 7$ заготовок. По стороне 145 см поместится $\lfloor 145 / 15 \rfloor = 9$ заготовок.

Всего можно изготовить: $N_2 = 7 \times 9 = 63$ заготовки.

Полезная площадь: $S_{пол_2} = 63 \times 225 = 14175 \text{ см}^2$.

Площадь отходов: $S_{отх_2} = S_2 - S_{пол_2} = 15225 - 14175 = 1050 \text{ см}^2$.

Процент отходов: $\frac{1050}{15225} \times 100\% \approx 6,9\%$.

Общая площадь листа: $S_3 = 120 \times 150 = 18000 \text{ см}^2$.

Рассчитаем максимальное количество заготовок. По стороне 120 см поместится $\lfloor 120 / 15 \rfloor = 8$ заготовок. По стороне 150 см поместится $\lfloor 150 / 15 \rfloor = 10$ заготовок.

Всего можно изготовить: $N_3 = 8 \times 10 = 80$ заготовок.

Полезная площадь: $S_{пол_3} = 80 \times 225 = 18000 \text{ см}^2$.

Площадь отходов: $S_{отх_3} = S_3 - S_{пол_3} = 18000 - 18000 = 0 \text{ см}^2$.

Процент отходов: $\frac{0}{18000} \times 100\% = 0\%$.

Сравнивая процент отходов для каждого варианта:

• Лист 80 × 140 см: отходы $\approx 9,6\%$
• Лист 105 × 145 см: отходы $\approx 6,9\%$
• Лист 120 × 150 см: отходы $0\%$

Наименьшее количество отходов (а именно, полное их отсутствие при раскрое на квадраты) достигается при использовании листа размером 120 × 150 см, так как его длина и ширина кратны 15 см.

Ответ: Чтобы было меньше отходов, нужно взять лист размером 120 × 150 см.