Номер 4, страница 50, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4 Делится ли произведение $2 {\cdot} 2 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 {\cdot} 11 {\cdot} 13$ нацело на:

а) $2 {\cdot} 2 {\cdot} 5$;

б) $2 {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 7$;

в) $22 {\cdot} 13$;

г) $2^2 {\cdot} 7 {\cdot} 11^2$;

д) $4 {\cdot} 15 {\cdot} 143$;

е) $60 {\cdot} 11 {\cdot} 143$?

В случае положительного ответа найдите результат деления.

а) $\dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 3 {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 7 {\cdot} 11 {\cdot} 13}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{5}}}} = 3 {\cdot} 7 {\cdot} 11 {\cdot} 13 = 3003$

Делится нацело, результат деления равен $3003$.

б) $\dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 2 {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} 5 {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} 11 {\cdot} 13}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} 3 {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{7}}}} = \dfrac{2 {\cdot} 5 {\cdot} 11 {\cdot} 13}{3} =$
$= \dfrac{1430}{3}$

Не делится нацело, так как в знаменателе остался множитель $3$.

в) Разложим $22$ на простые множители: $22 = 2 {\cdot} 11$.

$\dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 2 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{13}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{13}}}} = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 = 210$

Делится нацело, результат деления равен $210$.

г) $\dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} {\color{orange}\overset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} 13}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{7}}} {\cdot} {\color{orange}\underset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} 11} = \dfrac{3 {\cdot} 5 {\cdot} 13}{11} = \dfrac{195}{11}$

Не делится нацело, так как в знаменателе остался множитель $11$.

д) Разложим числа в знаменателе на простые множители: $4 = 2 {\cdot} 2$, $15 = 3 {\cdot} 5$, $143 = 11 {\cdot} 13$.

$\dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{orange}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 7 {\cdot} {\color{purple}\overset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} {\color{red}\overset{1}{\cancel{13}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{orange}\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} {\color{purple}\underset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} {\color{red}\underset{1}{\cancel{13}}}} = 7$

Делится нацело, результат деления равен $7$.

е) Разложим числа в знаменателе на простые множители: $60 = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 3 {\cdot} 5$, $143 = 11 {\cdot} 13$.

$\dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{orange}\overset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 7 {\cdot} {\color{purple}\overset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} {\color{red}\overset{1}{\cancel{13}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} {\color{green}\underset{1}{\cancel{3}}} {\cdot} {\color{orange}\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 11 {\cdot} {\color{purple}\underset{1}{\cancel{11}}} {\cdot} {\color{red}\underset{1}{\cancel{13}}}} = \dfrac{7}{11}$

Не делится нацело, так как в знаменателе остался множитель $11$.

Для решения задачи представим исходное произведение в виде разложения на простые множители: $P = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Число делится нацело на другое число, если все простые множители делителя содержатся в разложении делимого, причем в степени, не большей, чем в делимом.

а) $2 \cdot 2 \cdot 5$
Разложение делителя на простые множители: $2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.
Все множители ($2^2$ и $5$) содержатся в исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Следовательно, деление возможно.
Результат деления: $\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 2 \cdot 5} = 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 21 \cdot 143 = 3003$.
Ответ: Да, делится. Результат деления: 3003.

б) $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7$
Разложение делителя на простые множители: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7$.
В исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ множитель 3 содержится в первой степени, а в делителе — во второй. Так как степень множителя 3 в делителе больше, чем в делимом ($2 > 1$), то произведение не делится нацело.
Ответ: Нет, не делится.

в) $22 \cdot 13$
Разложение делителя на простые множители: $22 \cdot 13 = (2 \cdot 11) \cdot 13 = 2 \cdot 11 \cdot 13$.
Все множители ($2, 11, 13$) содержатся в исходном произведении $P = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Следовательно, деление возможно.
Результат деления: $\frac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2 \cdot 11 \cdot 13} = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210$.
Ответ: Да, делится. Результат деления: 210.

г) $2^2 \cdot 7 \cdot 11^2$
Разложение делителя на простые множители: $2^2 \cdot 7 \cdot 11^2$.
В исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11^1 \cdot 13$ множитель 11 содержится в первой степени, а в делителе — во второй. Так как степень множителя 11 в делителе больше, чем в делимом ($2 > 1$), то произведение не делится нацело.
Ответ: Нет, не делится.

д) $4 \cdot 15 \cdot 143$
Разложение делителя на простые множители: $4 \cdot 15 \cdot 143 = (2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (11 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$.
Все множители делителя содержатся в исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$. Следовательно, деление возможно.
Результат деления: $\frac{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13}{2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13} = 7$.
Ответ: Да, делится. Результат деления: 7.

е) $60 \cdot 11 \cdot 143$
Разложение делителя на простые множители: $60 \cdot 11 \cdot 143 = (2^2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot 11 \cdot (11 \cdot 13) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2 \cdot 13$.
В исходном произведении $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11^1 \cdot 13$ множитель 11 содержится в первой степени, а в делителе — во второй ($11^2$). Так как степень множителя 11 в делителе больше, чем в делимом ($2 > 1$), то произведение не делится нацело.
Ответ: Нет, не делится.