Номер 103, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

103. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ (рис. 141). На стороне $AC$ взята точка $K$. Прямые $BK$ и $AM$ перпендикулярны, и прямая $BK$ делит медиану $AM$ пополам. Докажите, что $BC = 2AB$.

Рис. 141

Пусть прямые $BK$ и $AM$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $ABM$.

1. По условию задачи, прямые $BK$ и $AM$ перпендикулярны ($BK \perp AM$). Это означает, что отрезок $BO$ является высотой в треугольнике $ABM$, так как он перпендикулярен стороне $AM$.

2. Также по условию, прямая $BK$ делит медиану $AM$ пополам. Следовательно, точка их пересечения $O$ является серединой отрезка $AM$, то есть $AO = OM$. Таким образом, отрезок $BO$ является медианой в треугольнике $ABM$, так как он соединяет вершину $B$ с серединой противолежащей стороны $AM$.

3. Поскольку в треугольнике $ABM$ отрезок $BO$ является одновременно и высотой, и медианой, то по признаку равнобедренного треугольника, $\triangle ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$. Из этого следует, что его боковые стороны равны: $AB = BM$.

4. По определению, $AM$ — это медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $BC$. Это значит, что точка $M$ является серединой стороны $BC$. Следовательно, длина стороны $BC$ вдвое больше длины отрезка $BM$, то есть $BC = 2BM$.

5. Подставим в равенство $BC = 2BM$ полученное ранее соотношение $AB = BM$. В результате получим $BC = 2AB$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.