Номер 158, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Казаков

158. На рисунке 207 треугольник ABC — равносторонний с периметром 36 см, $MK \parallel BC$, $NP \parallel AC$, $EF \parallel AB$ и $KM + MN + NP = PE + EF + FK$. Найдите периметр шестиугольника KMNPEF.

Рис. 207

По условию задачи, треугольник $ABC$ — равносторонний, а его периметр равен $36$ см. Так как у равностороннего треугольника все стороны равны, то длина каждой стороны составляет:

$AB = BC = AC = 36 / 3 = 12$ см.

Также, все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Рассмотрим малые треугольники, образовавшиеся в углах большого треугольника $ABC$.

1. Треугольник $AMK$. По условию $MK \parallel BC$. Следовательно, углы треугольника $AMK$ равны углам треугольника $ABC$ ($\angle AMK = \angle B$ и $\angle AKM = \angle C$ как соответственные углы при параллельных прямых). Таким образом, треугольник $AMK$ является равносторонним, и его стороны равны: $AM = MK = AK$.

2. Треугольник $NBP$. По условию $NP \parallel AC$. Аналогично, треугольник $NBP$ является равносторонним, и $NB = NP = BP$.

3. Треугольник $EFC$. По условию $EF \parallel AB$. Аналогично, треугольник $EFC$ является равносторонним, и $EC = EF = FC$.

Теперь выразим длины сторон треугольника $ABC$ через отрезки, из которых они состоят, и стороны малых треугольников:

$AB = AM + MN + NB$. Заменяя $AM$ на $KM$ и $NB$ на $NP$ на основе равенств, полученных выше, получаем: $AB = KM + MN + NP$.

Периметр шестиугольника $KMNPEF$ определяется как сумма длин всех его сторон:

$P_{KMNPEF} = KM + MN + NP + PE + EF + FK$.

В условии задачи дано равенство: $KM + MN + NP = PE + EF + FK$.

Давайте используем это для нахождения периметра. Периметр шестиугольника можно представить как сумму двух равных частей:

$P_{KMNPEF} = (KM + MN + NP) + (PE + EF + FK)$.

Так как обе части в скобках равны, мы можем записать:

$P_{KMNPEF} = 2 \cdot (KM + MN + NP)$.

Ранее мы установили, что $AB = KM + MN + NP$. Мы знаем, что $AB = 12$ см.

Следовательно, $KM + MN + NP = 12$ см.

Подставляем это значение в формулу для периметра шестиугольника:

$P_{KMNPEF} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.