Номер 110, страница 54 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

110. На рисунке 105 точки $P$, $M$, $N$ и $K$ — середины сторон четырехугольника $ABCD$. Найдите:

а) периметр четырехугольника $PMNK$, если $AC = 12$ см, $BD = 10$ см;

б) угол между прямыми $AC$ и $BD$, если $AC = BD$ и $\angle KPN = 32^\circ$.

Рис. 105

Четырехугольник PMNK, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника ABCD, является параллелограммом (согласно теореме Вариньона). Его стороны параллельны диагоналям исходного четырехугольника ABCD, а их длины равны половине длин соответствующих диагоналей.

Рассмотрим треугольник ABC. Отрезок PM соединяет середины сторон AB и BC, следовательно, PM является средней линией треугольника ABC. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине: $PM \parallel AC$ и $PM = \frac{1}{2} AC$.

Аналогично, рассмотрим треугольники ADC, ABD и BCD:

• В $\triangle ADC$, KN — средняя линия, поэтому $KN \parallel AC$ и $KN = \frac{1}{2} AC$.
• В $\triangle ABD$, KP — средняя линия, поэтому $KP \parallel BD$ и $KP = \frac{1}{2} BD$.
• В $\triangle BCD$, MN — средняя линия, поэтому $MN \parallel BD$ и $MN = \frac{1}{2} BD$.

Периметр четырехугольника PMNK равен сумме длин его сторон:

$P_{PMNK} = PM + MN + NK + KP$

Подставим выражения для длин сторон через длины диагоналей:

$P_{PMNK} = \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BD = AC + BD$

Теперь подставим числовые значения из условия:

$P_{PMNK} = 12 \text{ см} + 10 \text{ см} = 22 \text{ см}$

Ответ: 22 см.

Из пункта а) мы знаем, что $PM = KN = \frac{1}{2} AC$ и $KP = MN = \frac{1}{2} BD$.

По условию этого пункта $AC = BD$. Следовательно, все стороны четырехугольника PMNK равны: $PM = MN = NK = KP$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Итак, PMNK — ромб.

Одним из свойств ромба является то, что его диагонали являются биссектрисами его углов. В ромбе PMNK отрезок PN является диагональю. Следовательно, диагональ PN делит угол KPM пополам.

Это означает, что $\angle KPM = 2 \cdot \angle KPN$.

По условию $\angle KPN = 32°$. Найдем величину угла KPM:

$\angle KPM = 2 \cdot 32° = 64°$

Угол между двумя пересекающимися прямыми равен углу между любыми двумя прямыми, которые параллельны исходным. Мы знаем, что $KP \parallel BD$ и $PM \parallel AC$. Следовательно, угол между прямыми AC и BD равен углу между сторонами KP и PM, то есть $\angle KPM$.

Углом между прямыми принято считать острый угол, если они не перпендикулярны. Поскольку $\angle KPM = 64°$ (острый угол), то это и есть искомый угол.

Ответ: 64°.