Номер 472, страница 102 - гдз по физике 9 класс сборник задач Исаченкова, Дорофейчик

Дано:

Время полета стрелы $t = 6,0$ с
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v_0$ — начальная скорость стрелы
$h_{max}$ — максимальная высота подъема
$v_h$ — скорость на высоте $h = \frac{3}{4}h_{max}$

Решение:

Определите модуль начальной скорости стрелы, выпущенной из лука вертикально вверх, если она вернулась обратно через время t = 6,0 с.

Движение стрелы вертикально вверх и вниз симметрично (при пренебрежении сопротивлением воздуха). Это означает, что время подъема на максимальную высоту ($t_{под}$) равно времени падения с этой высоты ($t_{пад}$).

Таким образом, время подъема составляет половину от общего времени полета:

$t_{под} = \frac{t}{2} = \frac{6,0 \text{ с}}{2} = 3,0 \text{ с}$

В наивысшей точке траектории скорость стрелы становится равной нулю. Для нахождения начальной скорости используем уравнение скорости для равноускоренного движения, направив ось OY вертикально вверх:

$v = v_0 - gt$

При $t = t_{под}$, конечная скорость $v = 0$. Подставив значения, получаем:

$0 = v_0 - g t_{под}$

Отсюда выражаем начальную скорость $v_0$:

$v_0 = g t_{под} = 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 3,0 \text{ с} = 29,4 \text{ м/с}$

Ответ: 29,4 м/с.

Чему равна максимальная высота подъема стрелы?

Максимальную высоту подъема $h_{max}$ можно вычислить по формуле для перемещения при равноускоренном движении:

$h_{max} = v_0 t_{под} - \frac{g t_{под}^2}{2}$

Подставляем ранее найденные и данные значения:

$h_{max} = 29,4 \text{ м/с} \cdot 3,0 \text{ с} - \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (3,0 \text{ с})^2}{2} = 88,2 \text{ м} - \frac{9,8 \cdot 9,0}{2} \text{ м} = 88,2 \text{ м} - 44,1 \text{ м} = 44,1 \text{ м}$

Альтернативный способ — использование формулы, не содержащей время:

$h_{max} = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{(29,4 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{864,36}{19,6} \text{ м} = 44,1 \text{ м}$

Ответ: 44,1 м.

Каким был модуль скорости движения стрелы на высоте, составляющей $\frac{3}{4}$ от максимальной высоты подъема?

Искомая высота $h = \frac{3}{4}h_{max}$. Для нахождения скорости $v_h$ на этой высоте воспользуемся формулой, связывающей скорость и высоту:

$v_h^2 = v_0^2 - 2gh$

Подставим в это уравнение выражение для $h$ через $h_{max}$ и для $h_{max}$ через $v_0$ (из предыдущего пункта $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$):

$v_h^2 = v_0^2 - 2g \left( \frac{3}{4} h_{max} \right) = v_0^2 - 2g \left( \frac{3}{4} \cdot \frac{v_0^2}{2g} \right)$

После сокращения $2g$ в правой части, получаем:

$v_h^2 = v_0^2 - \frac{3}{4} v_0^2 = \frac{1}{4} v_0^2$

Чтобы найти модуль скорости, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v_h = \sqrt{\frac{1}{4} v_0^2} = \frac{1}{2} v_0$

Теперь вычислим числовое значение скорости:

$v_h = \frac{1}{2} \cdot 29,4 \text{ м/с} = 14,7 \text{ м/с}$

Ответ: 14,7 м/с.