номер 7, страница 41 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

7. Во сколько раз отличаются промежутки времени, которые затратит лодочник, чтобы проделать один и тот же путь туда и обратно по озеру и по реке, если модуль скорости лодки относительно воды в обоих случаях $v_\text{л} = 2,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$, а модуль скорости течения воды в реке $v_\text{т} = 1,0 \frac{\text{М}}{\text{с}}$?

Дано:

Модуль скорости лодки относительно воды: $v_л = 2,0 \frac{м}{с}$
Модуль скорости течения воды в реке: $v_т = 1,0 \frac{м}{с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

$\frac{t_{река}}{t_{озеро}}$ — ?

Решение:

Пусть $S$ — расстояние, которое лодка проплывает в одном направлении.

1. Время движения туда и обратно по озеру.
В озере вода неподвижна, поэтому скорость лодки относительно берега равна ее скорости относительно воды $v_л$. Общее время $t_{озеро}$ для пути туда и обратно равно: $t_{озеро} = \frac{S}{v_л} + \frac{S}{v_л} = \frac{2S}{v_л}$.

2. Время движения туда и обратно по реке.
При движении по течению скорость лодки относительно берега равна сумме скоростей: $v_{по\;теч.} = v_л + v_т$.
При движении против течения скорость лодки относительно берега равна разности скоростей: $v_{пр\;теч.} = v_л - v_т$.
Общее время $t_{река}$ равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_{река} = \frac{S}{v_{по\;теч.}} + \frac{S}{v_{пр\;теч.}} = \frac{S}{v_л + v_т} + \frac{S}{v_л - v_т}$.
Приводя дроби к общему знаменателю, получаем: $t_{река} = S \cdot \frac{(v_л - v_т) + (v_л + v_т)}{(v_л + v_т)(v_л - v_т)} = \frac{2Sv_л}{v_л^2 - v_т^2}$.

3. Нахождение отношения времен.
Чтобы определить, во сколько раз отличаются промежутки времени, найдем их отношение, разделив время движения по реке на время движения по озеру: $\frac{t_{река}}{t_{озеро}} = \frac{\frac{2Sv_л}{v_л^2 - v_т^2}}{\frac{2S}{v_л}} = \frac{2Sv_л}{v_л^2 - v_т^2} \cdot \frac{v_л}{2S} = \frac{v_л^2}{v_л^2 - v_т^2}$.

4. Вычисление.
Подставим в полученную формулу числовые значения скоростей из условия задачи: $\frac{t_{река}}{t_{озеро}} = \frac{(2,0)^2}{(2,0)^2 - (1,0)^2} = \frac{4,0}{4,0 - 1,0} = \frac{4}{3}$.
$\frac{4}{3} \approx 1,33$.

Ответ: время, затраченное на путь по реке, больше времени, затраченного на тот же путь по озеру, в $\frac{4}{3}$ раза, или приблизительно в 1,33 раза.