Номер 523, страница 97 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

$v = 5,00$ м/с

$m_1 = 1,00$ кг

$m_2 = 49,0$ кг

Найти:

$v_1$ - ?

Сравнить мощности $P_1$ и $P_2$.

$v_{отн}$ - ?

Решение:

Основное предположение, вытекающее из условия "бросать камень с прежней силой", заключается в том, что работа $A$, совершаемая силой мышц мальчика при броске, в обоих случаях одинакова. Эта работа преобразуется в кинетическую энергию системы.

1. Определение модуля скорости камня $v_1$

В первом случае (мальчик опирается на барьер), мальчик остается неподвижным. Вся совершенная им работа $A$ переходит в кинетическую энергию камня: $A = E_{k} = \frac{m_1 v^2}{2}$

Во втором случае (мальчик на коньках на гладком льду), система "мальчик + камень" является замкнутой в горизонтальном направлении. Для нее выполняется закон сохранения импульса. Начальный импульс системы равен нулю. После броска: $0 = m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2$

где $v_1$ - скорость камня, а $v_2$ - скорость мальчика относительно льда. В проекции на ось, направленную в сторону движения камня: $0 = m_1 v_1 - m_2 v_2 \implies m_1 v_1 = m_2 v_2 \implies v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$

Работа $A$, совершаемая мальчиком, теперь идет на сообщение кинетической энергии и камню, и мальчику: $A = E_{k,общ} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Приравниваем выражения для работы $A$ из первого и второго случаев: $\frac{m_1 v^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$

Подставим выражение для $v_2$: $\frac{m_1 v^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2}{2} \left( \frac{m_1 v_1}{m_2} \right)^2 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_1^2 v_1^2}{2m_2}$

Сократим на $\frac{m_1}{2}$: $v^2 = v_1^2 + \frac{m_1 v_1^2}{m_2} = v_1^2 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right) = v_1^2 \left( \frac{m_2 + m_1}{m_2} \right)$

Отсюда выразим $v_1$: $v_1 = v \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}}$

Подставим числовые значения: $v_1 = 5,00 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{49,0 \text{ кг}}{1,00 \text{ кг} + 49,0 \text{ кг}}} = 5,00 \cdot \sqrt{\frac{49}{50}} \approx 5,00 \cdot 0,9899 \approx 4,95 \frac{м}{с}$

Ответ: $v_1 \approx 4,95$ м/с.

2. Сравнение мощностей

Мощность – это работа, совершаемая в единицу времени ($P = A/\Delta t$). Поскольку работа $A$ в обоих случаях одинакова, для сравнения мощностей нужно сравнить время броска $\Delta t$.

В первом случае, когда мальчик неподвижен, он совершает работу $A$ за время $\Delta t_1$.

Во втором случае мальчик движется в сторону, противоположную броску (отдача). Это означает, что для совершения той же работы $A$ (равной произведению силы на относительное перемещение руки с камнем), рука должна двигаться с большей скоростью относительно льда. То же самое относительное перемещение будет пройдено за меньшее время $\Delta t_2$.

Так как $A_1 = A_2 = A$ и $\Delta t_2 < \Delta t_1$, то средняя мощность, развиваемая мальчиком во втором случае, будет больше: $P_2 > P_1$.

Ответ: Мощность, развиваемая мальчиком, в обоих случаях не будет одинаковой. Во втором случае (на льду) мощность будет больше.

3. Модуль скорости камня относительно мальчика

Скорость камня относительно мальчика $v_{отн}$ во втором случае равна векторной разности их скоростей: $\vec{v}_{отн} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$

Поскольку камень и мальчик движутся в противоположных направлениях, модуль относительной скорости равен сумме модулей их скоростей: $v_{отн} = v_1 + v_2$

Используя соотношение из закона сохранения импульса $v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$: $v_{отн} = v_1 + \frac{m_1}{m_2} v_1 = v_1 \left( 1 + \frac{m_1}{m_2} \right)$

Подставим ранее найденное выражение для $v_1 = v \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}}$: $v_{отн} = v \sqrt{\frac{m_2}{m_1 + m_2}} \cdot \left( \frac{m_2 + m_1}{m_2} \right) = v \frac{\sqrt{m_2}}{\sqrt{m_1 + m_2}} \cdot \frac{m_1 + m_2}{m_2} = v \sqrt{\frac{m_1 + m_2}{m_2}}$

Подставим числовые значения: $v_{отн} = 5,00 \frac{м}{с} \cdot \sqrt{\frac{1,00 \text{ кг} + 49,0 \text{ кг}}{49,0 \text{ кг}}} = 5,00 \cdot \sqrt{\frac{50}{49}} \approx 5,00 \cdot 1,010 \approx 5,05 \frac{м}{с}$

Ответ: $v_{отн} \approx 5,05$ м/с.