Номер 569, страница 104 - гдз по физике 9-11 класс сборник задач Капельян, Аксенович

Дано:

Масса первого тела: $m_1 = m$
Масса второго тела: $m_2 = m$
Модуль скорости первого тела: $v_1 = v$
Модуль скорости второго тела: $v_2 = v$
Угол между векторами скоростей: $\alpha = 90^\circ$
Столкновение абсолютно неупругое.

Найти:

$n$ - часть кинетической энергии, перешедшая во внутреннюю.

Решение:

Искомая часть энергии $n$ определяется как отношение количества теплоты $Q$, выделившейся при столкновении, к начальной кинетической энергии системы $E_{к.нач}$.
$n = \frac{Q}{E_{к.нач}}$

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, выделившееся при неупругом столкновении, равно убыли кинетической энергии системы:
$Q = E_{к.нач} - E_{к.кон}$
Таким образом, искомая доля равна:
$n = \frac{E_{к.нач} - E_{к.кон}}{E_{к.нач}} = 1 - \frac{E_{к.кон}}{E_{к.нач}}$

1. Рассчитаем начальную кинетическую энергию системы. Она равна сумме кинетических энергий двух тел до столкновения.
$E_{к.нач} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2}$
Поскольку по условию массы тел и модули их скоростей равны ($m_1 = m_2 = m$, $v_1 = v_2 = v$):
$E_{к.нач} = \frac{m v^2}{2} + \frac{m v^2}{2} = m v^2$

2. Для нахождения конечной кинетической энергии необходимо определить скорость тел после столкновения. Так как столкновение абсолютно неупругое, тела движутся вместе как единое целое с массой $M = m_1 + m_2 = 2m$ и скоростью $\vec{u}$.
Применим закон сохранения импульса для системы двух тел:
$\vec{p}_{нач} = \vec{p}_{кон}$
$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{u}$
$m \vec{v}_1 + m \vec{v}_2 = 2m \vec{u}$
Разделив на $m$, получим:
$\vec{v}_1 + \vec{v}_2 = 2 \vec{u}$

Найдем модуль вектора скорости $\vec{u}$. Так как векторы скоростей $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ перпендикулярны друг другу ($\alpha = 90^\circ$), модуль их векторной суммы найдем по теореме Пифагора:
$|\vec{v}_1 + \vec{v}_2| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$
Из закона сохранения импульса имеем:
$|2 \vec{u}| = 2u = |\vec{v}_1 + \vec{v}_2|$
$2u = v\sqrt{2}$
$u = \frac{v\sqrt{2}}{2}$

3. Теперь можем рассчитать конечную кинетическую энергию системы:
$E_{к.кон} = \frac{M u^2}{2} = \frac{(2m) u^2}{2} = m u^2$
Подставим найденное значение скорости $u$:
$E_{к.кон} = m \left(\frac{v\sqrt{2}}{2}\right)^2 = m \frac{v^2 \cdot 2}{4} = \frac{m v^2}{2}$

4. Наконец, рассчитаем искомую часть энергии $n$:
$n = 1 - \frac{E_{к.кон}}{E_{к.нач}} = 1 - \frac{\frac{m v^2}{2}}{m v^2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: во внутреннюю энергию переходит половина начальной кинетической энергии, то есть $n = 0.5$.