Номер 5*, страница 19, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

5* а) Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел равно 21. Найдите эти три числа.

б) Сформулируйте правило для нахождения среднего арифметического трёх последовательных натуральных чисел.

а) Пусть $x$ — первое число, тогда $(x + 1)$ — второе число, $(x + 2)$ — третье число. Зная, что их среднее арифметическое равно $21$, составим и решим уравнение:

1) $\dfrac{{\color{red}\underline{{\color{black}x}}} + {\color{red}\underline{{\color{black}x}}} + {\color{blue}\underline{\underline{{\color{black}1}}}} + {\color{red}\underline{{\color{black}x}}} + {\color{blue}\underline{\underline{{\color{black}2}}}}}{3} = 21$

$\dfrac{3x + 3}{3} = 21$

$3x + 3 = 21 {\cdot} 3$

$3x + 3 = 63$

$3x = 63 - 3$

$3x = 60$

$x = 60 : 3$

$x = 20$ — первое число;

2) $20 + 1 = 21$ — второе число;

3) $20 + 2 = 22$ — третье число.

Ответ: $20$, $21$, $22$.

б) Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел равно второму (среднему) числу в этой последовательности.

а)

Среднее арифметическое — это сумма чисел, делённая на их количество. Пусть три последовательных натуральных числа можно представить как $n-1$, $n$ и $n+1$. Это удобное представление, так как среднее число обозначено как $n$.

Составим уравнение для нахождения среднего арифметического:
$\frac{(n-1) + n + (n+1)}{3} = 21$

Упростим числитель дроби:
$\frac{3n}{3} = 21$

Отсюда получаем, что $n = 21$.

Теперь, зная среднее число, мы можем найти два других:

• Первое число: $n - 1 = 21 - 1 = 20$
• Второе число: $n = 21$
• Третье число: $n + 1 = 21 + 1 = 22$

Проверим: сумма чисел $20 + 21 + 22 = 63$. Среднее арифметическое: $\frac{63}{3} = 21$. Решение верно.

Ответ: 20, 21, 22.

б)

Чтобы сформулировать общее правило, рассмотрим три произвольных последовательных натуральных числа. Обозначим их как $a$, $a+1$, $a+2$.

Найдем их среднее арифметическое. Сначала вычислим их сумму:
$S = a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3$

Теперь разделим сумму на количество чисел (на 3):
Среднее арифметическое = $\frac{3a + 3}{3} = \frac{3(a+1)}{3} = a+1$

Результат $a+1$ — это в точности второе (среднее) число в последовательности $a$, $a+1$, $a+2$.
Например, для чисел 5, 6, 7 среднее арифметическое будет $\frac{5+6+7}{3} = \frac{18}{3} = 6$.

Таким образом, можно сформулировать следующее правило.

Ответ: Среднее арифметическое трёх последовательных натуральных чисел всегда равно второму (среднему) из этих чисел.