Номер 2.151, страница 65, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.151 Сравните дроби:

а) $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{7}{12}$;

б) $\dfrac{4}{9}$ и $\dfrac{5}{11}$;

в) $\dfrac{3}{5}$ и $\dfrac{47}{75}$;

г) $\dfrac{19}{42}$ и $\dfrac{23}{77}$.

2.151

а) $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{7}{12}$

$\text{НОК}(4; 12) = 12$

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 {\cdot} 3}{4 {\cdot} 3} = \dfrac{9}{12}$

т. к. $\dfrac{9}{12} > \dfrac{7}{12}$, то $\dfrac{3}{4} > \dfrac{7}{12}$

б) $\dfrac{4}{9}$ и $\dfrac{5}{11}$

$\text{НОК}(9; 11) = 9 {\cdot} 11 = 99$

$\dfrac{4}{9} = \dfrac{4 {\cdot} 11}{9 {\cdot} 11} = \dfrac{44}{99}$

$\dfrac{5}{11} = \dfrac{5 {\cdot} 9}{11 {\cdot} 9} = \dfrac{45}{99}$

т. к. $\dfrac{44}{99} < \dfrac{45}{99}$, то $\dfrac{4}{9} < \dfrac{5}{11}$

в) $\dfrac{3}{5}$ и $\dfrac{47}{75}$

$\text{НОК}(5; 75) = 75$

$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 {\cdot} 15}{5 {\cdot} 15} = \dfrac{45}{75}$

т. к. $\dfrac{45}{75} < \dfrac{47}{75}$, то $\dfrac{3}{5} < \dfrac{47}{75}$

г) $\dfrac{19}{42}$ и $\dfrac{23}{77}$

$\text{НОК}(42; 77) = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 7 {\cdot} 11 = 462$

$\dfrac{19}{42} = \dfrac{19 {\cdot} 11}{42 {\cdot} 11} = \dfrac{209}{462}$

$\dfrac{23}{77} = \dfrac{23 {\cdot} 6}{77 {\cdot} 6} = \dfrac{138}{462}$

т. к. $\dfrac{209}{462} > \dfrac{138}{462}$, то $\dfrac{19}{42} > \dfrac{23}{77}$

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{7}{12} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4 и 12 равен 12. Дробь $ \frac{7}{12} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 12, для этого умножим ее числитель и знаменатель на 3: $ \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} $. Теперь сравним полученные дроби $ \frac{9}{12} $ и $ \frac{7}{12} $. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше. Поскольку $ 9 > 7 $, то $ \frac{9}{12} > \frac{7}{12} $. Это означает, что $ \frac{3}{4} > \frac{7}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} > \frac{7}{12} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{4}{9} $ и $ \frac{5}{11} $, приведем их к общему знаменателю. Знаменатели 9 и 11 — взаимно простые числа, поэтому их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ 9 \cdot 11 = 99 $. Приведем дробь $ \frac{4}{9} $ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 11: $ \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99} $. Приведем дробь $ \frac{5}{11} $ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9: $ \frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{45}{99} $. Теперь сравним дроби $ \frac{44}{99} $ и $ \frac{45}{99} $. Так как $ 44 < 45 $, то $ \frac{44}{99} < \frac{45}{99} $. Следовательно, $ \frac{4}{9} < \frac{5}{11} $.
Ответ: $ \frac{4}{9} < \frac{5}{11} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{47}{75} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 75 равен 75, так как 75 делится на 5 ($75 \div 5 = 15$). Дробь $ \frac{47}{75} $ уже имеет этот знаменатель. Приведем дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 75, умножив числитель и знаменатель на 15: $ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 15}{5 \cdot 15} = \frac{45}{75} $. Теперь сравним дроби $ \frac{45}{75} $ и $ \frac{47}{75} $. Так как $ 45 < 47 $, то $ \frac{45}{75} < \frac{47}{75} $. Следовательно, $ \frac{3}{5} < \frac{47}{75} $.
Ответ: $ \frac{3}{5} < \frac{47}{75} $.

г) Чтобы сравнить дроби $ \frac{19}{42} $ и $ \frac{23}{77} $, найдем для них наименьший общий знаменатель. Для этого разложим знаменатели на простые множители: $ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 $; $ 77 = 7 \cdot 11 $. Наименьшее общее кратное (НОК) для 42 и 77 будет произведением всех уникальных множителей: $ \text{НОК}(42, 77) = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 = 462 $. Приведем первую дробь к знаменателю 462. Дополнительный множитель для нее $ 462 \div 42 = 11 $: $ \frac{19}{42} = \frac{19 \cdot 11}{42 \cdot 11} = \frac{209}{462} $. Приведем вторую дробь к знаменателю 462. Дополнительный множитель для нее $ 462 \div 77 = 6 $: $ \frac{23}{77} = \frac{23 \cdot 6}{77 \cdot 6} = \frac{138}{462} $. Теперь сравним дроби $ \frac{209}{462} $ и $ \frac{138}{462} $. Так как $ 209 > 138 $, то $ \frac{209}{462} > \frac{138}{462} $. Следовательно, $ \frac{19}{42} > \frac{23}{77} $.
Ответ: $ \frac{19}{42} > \frac{23}{77} $.