Номер 2.438, страница 103, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.438 Когда велосипедист отъехал от лагеря на $25\dfrac{5}{6}$ км, из лагеря выехал мотоциклист и догнал его через $\dfrac{2}{3}$ ч. Скорость велосипедиста составляла $\dfrac{3}{8}$ скорости мотоциклиста. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста.

2.438

1) $25\dfrac{5}{6} { : } \dfrac{2}{3} = \dfrac{155}{\underset{2}{\cancel{6}}} {\cdot} \dfrac{\overset{1}{\cancel{3}}}{2} =$

$= \dfrac{155 {\cdot} 1}{2 {\cdot} 2} = \dfrac{155}{4} = 38\dfrac{3}{4}$ (км/ч) – скорость сближения мотоциклиста и велосипедиста;

Пусть $x$ км/ч – скорость мотоциклиста, тогда $\dfrac{3}{8}x$ км/ч – скорость велосипедиста. Зная, что скорость сближения равна $38\dfrac{3}{4}$ км/ч, составим и решим уравнение:

$x - \dfrac{3}{8}x = 38\dfrac{3}{4};$

$\Bigl(1 - \dfrac{3}{8}\Bigr)x = 38\dfrac{3}{4};$

$\Bigl(\dfrac{8}{8} - \dfrac{3}{8}\Bigr)x = 38\dfrac{3}{4};$

$\dfrac{5}{8}x = \dfrac{155}{4};$

$x = \dfrac{155}{4} { : } \dfrac{5}{8};$

$x = \dfrac{{\color{red}\overset{31}{\cancel{155}}}}{{\color{blue}\underset{1}{\cancel{4}}}} {\cdot} \dfrac{{\color{blue}\overset{2}{\cancel{8}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{5}}}};$

$x = \dfrac{31 {\cdot} 2}{1 {\cdot} 1};$

$x = 62$ (км/ч) – скорость мотоциклиста;

2) $\dfrac{3}{8} {\cdot} 62 = \dfrac{3 {\cdot} \overset{31}{\cancel{62}}}{\underset{4}{\cancel{8}}} = \dfrac{3 {\cdot} 31}{4} =$

$= \dfrac{93}{4} = 23\dfrac{1}{4}$ (км/ч) – скорость велосипедиста.

Ответ: $62$ км/ч и $23\dfrac{1}{4}$ км/ч.

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Согласно условию задачи, скорость велосипедиста составляет $\frac{3}{8}$ от скорости мотоциклиста. Это можно записать в виде формулы:

$v_в = \frac{3}{8} v_м$

На момент старта мотоциклиста велосипедист опережал его на $S_0 = 25\frac{5}{6}$ км. Мотоциклист догнал велосипедиста за время $t = \frac{2}{3}$ часа.

Скорость, с которой мотоциклист догоняет велосипедиста, называется скоростью сближения и равна разности их скоростей:

$v_{сбл} = v_м - v_в$

Чтобы догнать велосипедиста, мотоциклист должен был сократить начальное расстояние $S_0$ до нуля. Это расстояние равно произведению скорости сближения на время:

$S_0 = v_{сбл} \cdot t$

Подставим в это уравнение выражение для скорости сближения:

$S_0 = (v_м - v_в) \cdot t$

Теперь заменим $v_в$ на $\frac{3}{8} v_м$:

$S_0 = (v_м - \frac{3}{8} v_м) \cdot t$

Упростим выражение в скобках:

$v_м - \frac{3}{8} v_м = (1 - \frac{3}{8}) v_м = \frac{5}{8} v_м$

Теперь уравнение выглядит так:

$S_0 = \frac{5}{8} v_м \cdot t$

Подставим числовые значения $S_0$ и $t$. Сначала переведем смешанное число $25\frac{5}{6}$ в неправильную дробь:

$S_0 = 25\frac{5}{6} = \frac{25 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{150 + 5}{6} = \frac{155}{6}$ км.

Подставляем известные значения в уравнение:

$\frac{155}{6} = \frac{5}{8} v_м \cdot \frac{2}{3}$

$\frac{155}{6} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 3} v_м = \frac{10}{24} v_м$

Сократим дробь $\frac{10}{24}$ на 2:

$\frac{155}{6} = \frac{5}{12} v_м$

Отсюда находим скорость мотоциклиста $v_м$:

$v_м = \frac{155}{6} : \frac{5}{12} = \frac{155}{6} \cdot \frac{12}{5}$

$v_м = \frac{155 \cdot 12}{6 \cdot 5} = \frac{31 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 62$ км/ч.

Зная скорость мотоциклиста, найдем скорость велосипедиста:

$v_в = \frac{3}{8} v_м = \frac{3}{8} \cdot 62 = \frac{186}{8}$

Сократим полученную дробь на 2:

$v_в = \frac{93}{4} = 23\frac{1}{4}$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 62 км/ч, скорость велосипедиста — $23\frac{1}{4}$ км/ч.