Номер 2.517, страница 112, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.517 Вычислите значение выражения $ \dfrac{2a}{c} - \dfrac{a}{2c} $, если:

а) $ a = 17{,}2 - 9{,}4 $ и $ c = 43 - 31{,}8 $;

б) $ a = 4\dfrac{5}{6} - 2\dfrac{1}{3} $ и $ c = 6\dfrac{4}{5} + 8\dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{15} $.

2.517

$\mathbf{а)}$ $a = 17{,}2 - 9{,}4 = 7{,}8;$

$c = 43 - 31{,}8 = 11{,}2.$

$\dfrac{2a}{c} - \dfrac{a}{2c} = \dfrac{2 {\cdot} 7{,}8}{11{,}2} - \dfrac{7{,}8}{2 {\cdot} 11{,}2} =$

$= \dfrac{15{,}6^{\color{red}|2}}{11{,}2} - \dfrac{7{,}8}{22{,}4} = \dfrac{31{,}2}{22{,}4} - \dfrac{7{,}8}{22{,}4} = \dfrac{23{,}4}{22{,}4} =$

$= 23\dfrac{4}{10} { : } 22\dfrac{4}{10} = \dfrac{234}{10} { : } \dfrac{224}{10} = \dfrac{{\color{red}\overset{117}{\cancel{234}}}}{{\color{blue}\underset{1}{\cancel{10}}}} {\cdot} \dfrac{{\color{blue}\overset{1}{\cancel{10}}}}{{\color{red}\underset{112}{\cancel{224}}}} =$

$= \dfrac{117}{112} = 1\dfrac{5}{112}.$

$\mathbf{б)}$ $a = 4\dfrac{5}{6} - 2\dfrac{1^{\color{red}|2}}{3} = 4\dfrac{5}{6} - 2\dfrac{2}{6} = 2\dfrac{\overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{2}{\cancel{6}}} = 2\dfrac{1}{2};$

$c = 6\dfrac{4^{\color{red}|3}}{5} + 8\dfrac{1^{\color{red}|5}}{3} - \dfrac{2}{15} = 6\dfrac{12}{15} + 8\dfrac{5}{15} - \dfrac{2}{15} =$

$= 14\dfrac{15}{15} = 15;$

$\dfrac{2a}{c} - \dfrac{a}{2c} = \dfrac{2 {\cdot} 2\dfrac{1}{2}}{15} - \dfrac{2\dfrac{1}{2}}{2 {\cdot} 15} = \dfrac{\overset{1}{\cancel{2}} {\cdot} \dfrac{5}{\underset{1}{\cancel{2}}}}{15} - \dfrac{\dfrac{5}{2}}{30} =$

$= \dfrac{\overset{1}{\cancel{5}}}{\underset{3}{\cancel{15}}} - \dfrac{\dfrac{5}{2}}{30} = \dfrac{1}{3} - \Bigl(\dfrac{5}{2} { : } 30\Bigr) = \dfrac{1}{3} - \Bigl(\dfrac{\overset{1}{\cancel{5}}}{2} {\cdot} \dfrac{1}{\underset{6}{\cancel{30}}}\Bigr) =$

$= \dfrac{1}{3} - \Bigl(\dfrac{1}{2} {\cdot} \dfrac{1}{6}\Bigr) = \dfrac{1^{\color{red}|4}}{3} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{4}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{\overset{1}{\cancel{3}}}{\underset{4}{\cancel{12}}} = \dfrac{1}{4}.$

Для начала упростим данное выражение, приведя дроби к общему знаменателю $2c$:

$\frac{2a}{c} - \frac{a}{2c} = \frac{2 \cdot 2a}{2c} - \frac{a}{2c} = \frac{4a}{2c} - \frac{a}{2c} = \frac{4a - a}{2c} = \frac{3a}{2c}$

Теперь, когда у нас есть упрощенное выражение $\frac{3a}{2c}$, мы можем подставить в него значения $a$ и $c$ из каждого подпункта.

а)

1. Сначала вычислим значения $a$ и $c$:

$a = 17,2 - 9,4 = 7,8$

$c = 43 - 31,8 = 11,2$

2. Подставим эти значения в упрощенное выражение:

$\frac{3a}{2c} = \frac{3 \cdot 7,8}{2 \cdot 11,2} = \frac{23,4}{22,4}$

3. Чтобы упростить полученную дробь, умножим числитель и знаменатель на 10 (чтобы избавиться от десятичных знаков), а затем сократим дробь:

$\frac{23,4}{22,4} = \frac{234}{224} = \frac{117 \cdot 2}{112 \cdot 2} = \frac{117}{112}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{117}{112} = 1\frac{5}{112}$

Ответ: $1\frac{5}{112}$

б)

1. Вычислим значения $a$ и $c$, работая со смешанными дробями.

Вычисляем $a$:

$a = 4\frac{5}{6} - 2\frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$a = 4\frac{5}{6} - 2\frac{2}{6} = (4 - 2) + (\frac{5}{6} - \frac{2}{6}) = 2 + \frac{3}{6} = 2\frac{1}{2}$

Вычисляем $c$:

$c = 6\frac{4}{5} + 8\frac{1}{3} - \frac{2}{15}$

Приводим дроби к общему знаменателю 15:

$c = 6\frac{12}{15} + 8\frac{5}{15} - \frac{2}{15} = (6 + 8) + (\frac{12}{15} + \frac{5}{15} - \frac{2}{15}) = 14 + \frac{17 - 2}{15} = 14 + \frac{15}{15} = 14 + 1 = 15$

2. Теперь у нас есть $a = 2\frac{1}{2}$ и $c = 15$. Подставим эти значения в упрощенное выражение $\frac{3a}{2c}$. Для удобства вычислений представим $a$ в виде неправильной дроби: $a = \frac{5}{2}$.

$\frac{3a}{2c} = \frac{3 \cdot \frac{5}{2}}{2 \cdot 15} = \frac{\frac{15}{2}}{30}$

3. Выполним деление:

$\frac{15}{2} : 30 = \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{30} = \frac{15}{2 \cdot 30} = \frac{15}{60}$

4. Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{60} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$