Номер 2.512, страница 112, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.512 Вычислите:

а) $\dfrac{4\dfrac{3}{5}}{1\dfrac{1}{10}}$;

б) $\dfrac{2\dfrac{1}{4}}{1\dfrac{5}{7}}$;

в) $\dfrac{1{,}6 {\cdot} 14{,}4 {\cdot} 4{,}2}{7{,}2 {\cdot} 3{,}2 {\cdot} 37{,}8}$;

г) $\dfrac{1{,}9 {\cdot} 4{,}38 {\cdot} 5{,}4}{3{,}6 {\cdot} 0{,}73 {\cdot} 5{,}7}$.

а) $\dfrac{4\dfrac{3}{5}}{1\dfrac{1}{10}} = \dfrac{23}{5} : \dfrac{11}{10} = \dfrac{23 {\cdot} {\color{red}\overset{2}{\cancel{10}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{5}}} {\cdot} 11} =$

$= \dfrac{23 {\cdot} 2}{1 {\cdot} 11} = \dfrac{46}{11} = 4\dfrac{2}{11}$;

б) $\dfrac{2\dfrac{1}{4}}{1\dfrac{5}{7}} = \dfrac{9}{4} : \dfrac{12}{7} = \dfrac{{\color{red}\overset{3}{\cancel{9}}} {\cdot} 7}{4 {\cdot} {\color{red}\underset{4}{\cancel{12}}}} = \dfrac{3 {\cdot} 7}{4 {\cdot} 4} =$

$= \dfrac{21}{16} = 1\dfrac{5}{16}$;

в) $\dfrac{1{,}6 {\cdot} 14{,}4 {\cdot} 4{,}2}{7{,}2 {\cdot} 3{,}2 {\cdot} 37{,}8} = \dfrac{16 {\cdot} 144 {\cdot} 42}{72 {\cdot} 32 {\cdot} 378} =$

$= \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{16}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{2}{\cancel{144}}} {\cdot} {\color{green}\overset{1}{\cancel{42}}}}{{\color{blue}\underset{1}{\cancel{72}}} {\cdot} {\color{red}\underset{2}{\cancel{32}}} {\cdot} {\color{green}\underset{9}{\cancel{378}}}} = \dfrac{1 {\cdot} \overset{1}{\cancel{2}} {\cdot} 1}{1 {\cdot} \underset{1}{\cancel{2}} {\cdot} 9} = \dfrac{1}{9}$;

г) $\dfrac{1{,}9 {\cdot} 4{,}38 {\cdot} 5{,}4}{3{,}6 {\cdot} 0{,}73 {\cdot} 5{,}7} = \dfrac{19 {\cdot} 438 {\cdot} 54}{36 {\cdot} 73 {\cdot} 57} =$

$= \dfrac{{\color{red}\overset{1}{\cancel{19}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{6}{\cancel{438}}} {\cdot} {\color{green}\overset{3}{\cancel{54}}}}{{\color{green}\underset{2}{\cancel{36}}} {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{73}}} {\cdot} {\color{red}\underset{3}{\cancel{57}}}} = \dfrac{1 {\cdot} {\color{red}\overset{3}{\cancel{6}}} {\cdot} {\color{blue}\overset{1}{\cancel{3}}}}{{\color{red}\underset{1}{\cancel{2}}} {\cdot} 1 {\cdot} {\color{blue}\underset{1}{\cancel{3}}}} = \dfrac{3}{1} = 3$.

а) Чтобы разделить смешанные дроби, представленные в виде многоэтажной дроби, сначала преобразуем их в неправильные дроби. Затем выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь (перевернутую).
Преобразуем числитель и знаменатель в неправильные дроби:
$4\frac{3}{5} = \frac{4 \times 5 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
$1\frac{1}{10} = \frac{1 \times 10 + 1}{10} = \frac{11}{10}$
Теперь выполним деление:
$\frac{4\frac{3}{5}}{1\frac{1}{10}} = \frac{\frac{23}{5}}{\frac{11}{10}} = \frac{23}{5} \div \frac{11}{10} = \frac{23}{5} \cdot \frac{10}{11}$
Сократим дробь, разделив 10 и 5 на их общий делитель 5:
$\frac{23 \cdot 10}{5 \cdot 11} = \frac{23 \cdot 2}{1 \cdot 11} = \frac{46}{11}$
Выделим целую часть, чтобы представить результат в виде смешанной дроби:
$\frac{46}{11} = 4\frac{2}{11}$
Ответ: $4\frac{2}{11}$

б) Аналогично пункту а), преобразуем смешанные дроби в неправильные.
Преобразуем числитель и знаменатель:
$2\frac{1}{4} = \frac{2 \times 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
$1\frac{5}{7} = \frac{1 \times 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$
Выполним деление дробей:
$\frac{2\frac{1}{4}}{1\frac{5}{7}} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{12}{7}} = \frac{9}{4} \div \frac{12}{7} = \frac{9}{4} \cdot \frac{7}{12}$
Сократим дробь, разделив 9 и 12 на их общий делитель 3:
$\frac{9 \cdot 7}{4 \cdot 12} = \frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 4} = \frac{21}{16}$
Преобразуем результат в смешанную дробь:
$\frac{21}{16} = 1\frac{5}{16}$
Ответ: $1\frac{5}{16}$

в) Для вычисления этого выражения сгруппируем множители так, чтобы было удобно производить сокращение.
$\frac{1.6 \cdot 14.4 \cdot 4.2}{7.2 \cdot 3.2 \cdot 37.8} = \frac{1.6}{3.2} \cdot \frac{14.4}{7.2} \cdot \frac{4.2}{37.8}$
Вычислим значение каждой из полученных дробей:
$\frac{1.6}{3.2} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$
$\frac{14.4}{7.2} = \frac{144}{72} = 2$
$\frac{4.2}{37.8} = \frac{42}{378}$. Заметим, что $42 \cdot 9 = 378$, поэтому $\frac{42}{378} = \frac{1}{9}$.
Теперь перемножим полученные результаты:
$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$
Ответ: $\frac{1}{9}$

г) Сгруппируем множители в числителе и знаменателе для удобства вычислений и сокращения.
$\frac{1.9 \cdot 4.38 \cdot 5.4}{3.6 \cdot 0.73 \cdot 5.7} = \frac{1.9}{5.7} \cdot \frac{4.38}{0.73} \cdot \frac{5.4}{3.6}$
Вычислим значение каждой дроби по отдельности:
$\frac{1.9}{5.7} = \frac{19}{57}$. Так как $19 \cdot 3 = 57$, то $\frac{19}{57} = \frac{1}{3}$.
$\frac{4.38}{0.73} = \frac{438}{73}$. Так как $73 \cdot 6 = 438$, то $\frac{438}{73} = 6$.
$\frac{5.4}{3.6} = \frac{54}{36}$. Сократим на 18: $\frac{54 \div 18}{36 \div 18} = \frac{3}{2}$.
Перемножим полученные значения:
$\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{3}{2} = \frac{1 \cdot 6 \cdot 3}{3 \cdot 2} = \frac{18}{6} = 3$
Ответ: $3$