Номер 2.76, страница 53, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.76 а) Сколькими способами могут разместиться 9 зрителей домашнего спектакля на девяти стульях?

б) Сколькими способами могут разместиться зрители на этих стульях, если один из них пойдёт помогать артистам?

а) Найдём количество способов разместить $9$ зрителей на $9$ стульях:

На первый стул можно посадить любого из $9$ зрителей ($9$ способов);

на второй стул — любого из оставшихся $8$ зрителей ($8$ способов);

на третий стул — любого из $7$ оставшихся зрителей ($7$ способов);

на четвёртый стул — $6$ способов;

на пятый стул — $5$ способов;

на шестой стул — $4$ способа;

на седьмой стул — $3$ способа;

на восьмой стул — $2$ способа;

на девятый стул сядет последний оставшийся зритель ($1$ способ).

По правилу произведения получаем:

$9 {\cdot} 8 {\cdot} 7 {\cdot} 6 {\cdot} 5 {\cdot} 4 {\cdot} 3 {\cdot} 2 {\cdot} 1 = 362{,}880$ способов.

Ответ: $362{,}880$ способов.

б) Если один из зрителей пойдёт помогать артистам, то на $9$ стульях нужно разместить $8$ зрителей (один стул останется свободным):

Первый зритель может выбрать любой из $9$ стульев ($9$ способов);

второй зритель может сесть на любой из оставшихся $8$ стульев ($8$ способов);

третий зритель — на любой из оставшихся $7$ стульев ($7$ способов);

четвёртый зритель — на любой из оставшихся $6$ стульев ($6$ способов);

пятый зритель — на любой из оставшихся $5$ стульев ($5$ способов);

шестой зритель — на любой из оставшихся $4$ стульев ($4$ способа);

седьмой зритель — на любой из оставшихся $3$ стульев ($3$ способа);

восьмой зритель — на любой из оставшихся $2$ стульев ($2$ способа).

По правилу произведения получаем:

$9 {\cdot} 8 {\cdot} 7 {\cdot} 6 {\cdot} 5 {\cdot} 4 {\cdot} 3 {\cdot} 2 = 362{,}880$ способов.

Ответ: $362{,}880$ способов.

а) Эта задача заключается в нахождении количества способов рассадить 9 зрителей на 9 стульев. Поскольку все зрители и все стулья различны, а порядок их расположения важен, мы имеем дело с перестановками. Число перестановок из $n$ элементов, обозначаемое как $P_n$, вычисляется по формуле n-факториал:

$P_n = n!$

В нашем случае $n=9$. Рассчитаем количество способов:

$P_9 = 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880$

Следовательно, существует 362 880 способов разместить 9 зрителей на 9 стульях.

Ответ: 362 880.

б) Согласно условию, один зритель уходит, и нам нужно разместить оставшихся $9 - 1 = 8$ зрителей. Количество стульев не изменилось и равно 9. Задача сводится к нахождению числа способов разместить 8 человек на 9 местах.

Это задача на нахождение числа размещений, так как важен порядок рассадки зрителей. Количество размещений $k$ элементов на $n$ местах, обозначаемое как $A_n^k$, вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае число зрителей $k=8$, а число стульев $n=9$. Подставим значения в формулу:

$A_9^8 = \frac{9!}{(9-8)!} = \frac{9!}{1!} = 9! = 362880$

Логически это можно объяснить так: для первого из восьми зрителей есть 9 вариантов выбора стула, для второго — 8, и так далее, до восьмого зрителя, у которого останется 2 варианта. Итоговое количество способов: $9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 362880$. Эта ситуация эквивалентна расстановке 8 зрителей и одного "пустого места" на 9 стульях, что также является перестановкой 9 различных объектов ($P_9 = 9!$).

Ответ: 362 880.