Номер 2.85, страница 54, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.85 Найдите $НОД (a, b)$, если:

а) $a = 2{\cdot}2{\cdot}3{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}19$, $b = 2{\cdot}3{\cdot}11{\cdot}13$;

б) $a = 2{\cdot}3{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}5{\cdot}5{\cdot}11$, $b = 3{\cdot}5{\cdot}5{\cdot}7$.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, разложенных на простые множители, необходимо найти произведение их общих множителей:

а) $a = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 7 {\cdot} 19$

$b = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 11 {\cdot} 13$

Общие множители чисел $a$ и $b$: $2$ и $3$.

$\text{НОД}(a, b) = 2 {\cdot} 3 = 6$

Ответ: $6$

б) $a = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 {\cdot} 5 {\cdot} 5 {\cdot} 11$

$b = 3 {\cdot} 5 {\cdot} 5 {\cdot} 7$

Общие множители чисел $a$ и $b$: $3$, $5$, $5$.

$\text{НОД}(a, b) = 3 {\cdot} 5 {\cdot} 5 = 75$

Ответ: $75$

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, разложенных на простые множители, необходимо найти произведение их общих простых множителей.

Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители:

$a = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$

$b = 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 13$

Выделим общие множители в разложениях обоих чисел. Общими множителями являются $2$ и $3$.

В разложение числа $a$ множитель $2$ входит дважды, а в разложение числа $b$ — один раз. Для НОД берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.

В разложение числа $a$ множитель $3$ входит дважды, а в разложение числа $b$ — один раз. Для НОД также берем наименьшее количество вхождений, то есть один раз.

Других общих простых множителей у чисел $a$ и $b$ нет.

Таким образом, НОД этих чисел равен произведению их общих множителей:

НОД ($a, b$) = $2 \cdot 3 = 6$.

Ответ: $6$.

б) Поступим аналогичным образом для второй пары чисел.

Даны разложения чисел $a$ и $b$ на простые множители:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 11$

$b = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$

Общими множителями в разложениях этих чисел являются $3$ и $5$.

Множитель $3$ входит в разложение числа $a$ два раза, а в разложение числа $b$ — один раз. Берем наименьшее количество вхождений — один раз.

Множитель $5$ входит в разложение числа $a$ три раза, а в разложение числа $b$ — два раза. Берем наименьшее количество вхождений — два раза.

Перемножим найденные общие множители:

НОД ($a, b$) = $3 \cdot 5 \cdot 5 = 75$.

Ответ: $75$.