Номер 3.80, страница 133, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

3.80 Найдите x:

а) $ \dfrac{x}{8} = \dfrac{2x}{16} $;

б) $ \dfrac{x}{16} = \dfrac{x}{4} $;

в) $ \dfrac{x}{16} = \dfrac{4}{x} $;

г) $ \dfrac{4}{7} = \dfrac{x}{x} $;

д) $ \dfrac{x}{x} = \dfrac{x}{9} $.

а) $\dfrac{x}{8} = \dfrac{2x}{16}$

$x {\cdot} 16 = 8 {\cdot} 2x$

$16x = 16x$

Равенство верно при любом значении $x$.

Ответ: любое число.

б) $\dfrac{x}{16} = \dfrac{x}{4}$

$4x = 16x$

$16x - 4x = 0$

$12x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

в) $\dfrac{x}{16} = \dfrac{4}{x}$

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.

$x {\cdot} x = 16 {\cdot} 4$

$x^2 = 64$

$x = 8$ или $x = -8$

Ответ: $-8;\; 8$.

г) $\dfrac{4}{7} = \dfrac{x}{x}$

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.

При любом $x \neq 0$ дробь $\dfrac{x}{x} = 1$, тогда:

$\dfrac{4}{7} = 1$ — неверно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

д) $\dfrac{x}{x} = \dfrac{x}{9}$

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.

При $x \neq 0$ дробь $\dfrac{x}{x} = 1$, тогда:

$1 = \dfrac{x}{9}$

$x = 1 {\cdot} 9$

$x = 9$

Ответ: $9$.

а) Дано уравнение-пропорция: $\frac{x}{8} = \frac{2x}{16}$. Для его решения можно использовать основное свойство пропорции (правило перекрестного умножения): произведение крайних членов равно произведению средних. $x \cdot 16 = 8 \cdot 2x$ $16x = 16x$ Перенесем все в левую часть уравнения: $16x - 16x = 0$ $0 = 0$ Мы получили верное равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством. Также можно было упростить правую часть уравнения: $\frac{2x}{16} = \frac{x}{8}$. Тогда уравнение принимает вид $\frac{x}{8} = \frac{x}{8}$, что верно при любом значении $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

б) Дано уравнение: $\frac{x}{16} = \frac{x}{4}$. Применим правило перекрестного умножения: $x \cdot 4 = 16 \cdot x$ $4x = 16x$ Перенесем все члены с $x$ в одну сторону: $16x - 4x = 0$ $12x = 0$ Разделим обе части на 12: $x = \frac{0}{12}$ $x = 0$
Ответ: $x=0$.

в) Дано уравнение: $\frac{x}{16} = \frac{4}{x}$. Заметим, что $x$ не может быть равен нулю, так как находится в знаменателе. Это область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$. Используем правило перекрестного умножения: $x \cdot x = 16 \cdot 4$ $x^2 = 64$ Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из 64. У этого уравнения есть два решения: $x_1 = \sqrt{64} = 8$ $x_2 = -\sqrt{64} = -8$ Оба значения удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x=8$ или $x=-8$.

г) Дано уравнение: $\frac{4}{7} = \frac{x}{x}$. Выражение $\frac{x}{x}$ равно 1 при любом значении $x$, не равном нулю (ОДЗ: $x \neq 0$). Подставим 1 вместо дроби в правую часть уравнения: $\frac{4}{7} = 1$ Это равенство неверно. Следовательно, не существует такого значения $x$, при котором исходное уравнение было бы верным.
Ответ: решений нет.

д) Дано уравнение: $\frac{x}{x} = \frac{x}{9}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$, так как в левой части $x$ находится в знаменателе. При $x \neq 0$ левая часть уравнения $\frac{x}{x}$ равна 1. Тогда уравнение можно переписать в виде: $1 = \frac{x}{9}$ Домножим обе части уравнения на 9, чтобы найти $x$: $x = 1 \cdot 9$ $x = 9$ Полученное значение $x=9$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x=9$.