Номер 4.114, страница 26, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4.114 Развивай воображение.

Куб можно составить из одинаковых четырёхугольных пирамид (рис. 4.22). У этих пирамид общая вершина $O$, а основания — грани куба.

а) Сколько пирамид на рисунке?

б) Найдите объём пирамиды, если ребро куба равно $1{,}8$ дм.

в) Найдите ребро куба, если объём пирамиды равен $\dfrac{1}{48}$ дм$^3$.

а) На рисунке $6$ пирамид, так как основаниями пирамид являются грани куба, а у куба $6$ граней.

б)

1) Найдем объём куба:

$1{,}8 {\cdot} 1{,}8 {\cdot} 1{,}8 = 5{,}832\text{ дм}^3$

2) Найдем объём одной пирамиды:

$5{,}832 : 6 = 0{,}972\text{ дм}^3$

Ответ: $0{,}972\text{ дм}^3$.

в)

1) Так как куб состоит из $6$ одинаковых пирамид, найдем объём куба:

$\dfrac{1}{48} {\cdot} 6 = \dfrac{\overset{1}{\cancel{6}}}{\underset{8}{\cancel{48}}} = \dfrac{1}{8}\text{ дм}^3$

2) Так как объём куба равен кубу его ребра ($V = a^3$):

$\dfrac{1}{8} = \Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^3$

Значит, ребро куба равно $\dfrac{1}{2}\text{ дм}$ (или $0{,}5\text{ дм}$).

Ответ: $\dfrac{1}{2}\text{ дм}$.

а) Куб имеет 6 граней. Каждая грань является основанием одной из пирамид, составляющих куб. Все эти пирамиды имеют общую вершину O в центре куба. Таким образом, куб составлен из 6 одинаковых пирамид.
Ответ: 6 пирамид.

б) Объём куба ($V_{куба}$) с ребром $a$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$.
По условию, ребро куба $a = 1,8$ дм.
Найдём объём куба:
$V_{куба} = (1,8)^3 = 5,832$ дм³.
Так как куб состоит из 6 одинаковых пирамид, объём одной пирамиды ($V_{пирамиды}$) равен $\frac{1}{6}$ объёма куба:
$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6} = \frac{5,832}{6} = 0,972$ дм³.
Ответ: 0,972 дм³.

в) Объём пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба, связан с ребром куба $a$ соотношением $V_{пирамиды} = \frac{a^3}{6}$.
По условию, объём пирамиды равен $V_{пирамиды} = \frac{1}{48}$ дм³.
Составим уравнение:
$\frac{a^3}{6} = \frac{1}{48}$
Найдём $a^3$:
$a^3 = 6 \cdot \frac{1}{48} = \frac{6}{48} = \frac{1}{8}$
Найдём длину ребра $a$, извлекая кубический корень:
$a = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0,5$ дм.
Ответ: 0,5 дм.