Номер 4.5, страница 13 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.5. На окружности даны последовательно четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$ такие, что дуги $AB$ и $CD$ равны. Укажите другие пары равных дуг с концами в данных точках. Рассмотрите специальные случаи:

а) точка $B$ является серединой $AC$;

б) дуги $AB, BC, CD$ и $DA$ равны.

Пусть точки А, B, C, D расположены на окружности последовательно. Это означает, что они образуют вписанный четырехугольник ABCD. Величину дуги будем обозначать как $m(\cup XY)$.

По условию задачи дано, что дуги AB и CD равны: $m(\cup AB) = m(\cup CD)$. Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, длины хорд $AB$ и $CD$ равны. Четырехугольник, вписанный в окружность, у которого равны боковые стороны (в данном случае AB и CD), является равнобедренной трапецией. Основаниями этой трапеции будут хорды BC и AD, значит $BC \parallel AD$. В равнобедренной трапеции диагонали равны, то есть $AC = BD$. Равные хорды стягивают равные дуги, следовательно, $\cup AC = \cup BD$.

Найдем другие пары равных дуг алгебраически.

1. Рассмотрим дуги AC и BD. Дуга AC состоит из суммы дуг AB и BC: $m(\cup AC) = m(\cup AB) + m(\cup BC)$. Дуга BD состоит из суммы дуг BC и CD: $m(\cup BD) = m(\cup BC) + m(\cup CD)$. Так как по условию $m(\cup AB) = m(\cup CD)$, мы можем заменить в одном из выражений одну дугу на другую. Например, в выражении для дуги BD заменим $m(\cup CD)$ на $m(\cup AB)$:$m(\cup BD) = m(\cup BC) + m(\cup AB)$. Сравнивая это с выражением для дуги AC, получаем, что $m(\cup AC) = m(\cup BD)$.

2. Рассмотрим дуги, проходящие через три точки, например, дугу DAB и дугу CDA.$m(\cup DAB) = m(\cup DA) + m(\cup AB)$.$m(\cup CDA) = m(\cup CD) + m(\cup DA)$. Поскольку $m(\cup AB) = m(\cup CD)$, то $m(\cup DAB) = m(\cup CDA)$.

Таким образом, из условия равенства дуг AB и CD следуют равенства двух других пар дуг: $\cup AC = \cup BD$ и $\cup DAB = \cup CDA$.

Ответ: Другими парами равных дуг являются дуги AC и BD ($\cup AC = \cup BD$), а также дуги DAB и CDA ($\cup DAB = \cup CDA$).

Рассмотрим специальные случаи.

а) точка B является серединой AC;

Если точка B является серединой дуги AC, это означает, что она делит дугу AC на две равные части: $\cup AB = \cup BC$. Из основного условия задачи мы знаем, что $\cup AB = \cup CD$. Объединяя эти два равенства, получаем цепочку равенств для трех дуг:$\cup AB = \cup BC = \cup CD$.

Из этого следует, что другие дуги, составленные из этих, также будут равны. Например, как и в общем случае, $\cup AC = \cup BD$:$m(\cup AC) = m(\cup AB) + m(\cup BC) = m(\cup AB) + m(\cup AB) = 2 \cdot m(\cup AB)$.$m(\cup BD) = m(\cup BC) + m(\cup CD) = m(\cup AB) + m(\cup AB) = 2 \cdot m(\cup AB)$. Следовательно, $\cup AC = \cup BD$.

Ответ: В этом случае равными оказываются три дуги: $\cup AB = \cup BC = \cup CD$. Также сохраняется равенство $\cup AC = \cup BD$.

б) дуги AB, BC, CD и DA равны.

Если все четыре дуги, на которые точки A, B, C, D делят окружность, равны, то есть $\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DA$, то вписанный четырехугольник ABCD является правильным, то есть квадратом.

В этом случае каждая из четырех дуг равна $360^\circ / 4 = 90^\circ$. Пары равных дуг можно сгруппировать по их величине:

1. Дуги, стягивающие стороны квадрата: Все они равны между собой. Любая пара из набора $\{\cup AB, \cup BC, \cup CD, \cup DA\}$ является парой равных дуг. Например, $\cup AB = \cup BC$, $\cup BC = \cup DA$ и т.д. Все они равны $90^\circ$.

2. Дуги, стягивающие диагонали квадрата:$m(\cup AC) = m(\cup AB) + m(\cup BC) = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.$m(\cup BD) = m(\cup BC) + m(\cup CD) = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Эти дуги также равны между собой ($\cup AC = \cup BD$) и являются полуокружностями. Это означает, что диагонали AC и BD являются диаметрами окружности.

3. Дуги, проходящие через три точки (соответствующие большим дугам между соседними вершинами):$m(\cup ABC) = m(\cup AB) + m(\cup BC) + m(\cup CD) = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$. (Это большая дуга AD).$m(\cup BCDA) = m(\cup BC) + m(\cup CD) + m(\cup DA) = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$. (Это большая дуга BA). Все такие дуги, составленные из трех основных, также равны.

Ответ: В этом случае равны все дуги, стягивающие стороны ($\cup AB = \cup BC = \cup CD = \cup DA$), а также равны дуги, стягивающие диагонали ($\cup AC = \cup BD$). Кроме того, равны любые дуги, составленные из одинакового числа последовательных малых дуг (например, $\cup ABC = \cup BCD = \cup CDA = \cup DAB = 180^\circ$).