Номер 1.6, страница 56 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

1.6. Перенесите таблицы в тетрадь. Заполните пустые ячейки.

a)Количество сторон выпуклого многоугольника, $n$: 6, [пусто], 5, [пусто], 8, 9

Сумма внутренних углов $n$-угольника: [пусто], [пусто], [пусто], $180^\circ$, [пусто], $1800^\circ$

Число диагоналей $n$-угольника: [пусто], 2, [пусто], [пусто], [пусто], [пусто]

б)Количество сторон выпуклого многоугольника, $n$: [пусто], 4, [пусто], 6, 7, 10, 11

Сумма внутренних углов $n$-угольника: $180^\circ$, [пусто], [пусто], [пусто], [пусто], [пусто], [пусто]

Число диагоналей $n$-угольника: [пусто], [пусто], 5, [пусто], [пусто], [пусто], [пусто]

а)

Для заполнения таблицы воспользуемся двумя основными формулами для выпуклого $n$-угольника, где $n$ — количество сторон:

• Сумма внутренних углов: $S = 180^\circ \cdot (n - 2)$.
• Число диагоналей: $D = \frac{n(n - 3)}{2}$.

Рассчитаем значения для каждой пустой ячейки, двигаясь по столбцам слева направо.

1. Для первого столбца, где дано количество сторон $n=6$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (6 - 2) = 180^\circ \cdot 4 = 720^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9$.

2. Для второго столбца, где дано число диагоналей $D=2$:
Найдём $n$ из формулы числа диагоналей: $D = \frac{n(n-3)}{2} \implies 2 = \frac{n(n-3)}{2}$.
Это приводит к квадратному уравнению: $n(n-3) = 4 \implies n^2 - 3n - 4 = 0$.
Корни уравнения: $n_1 = 4$ и $n_2 = -1$. Поскольку число сторон не может быть отрицательным, $n=4$.
Сумма углов для $n=4$: $S = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 180^\circ \cdot 2 = 360^\circ$.

3. Для третьего столбца, где дано $n=5$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (5 - 2) = 180^\circ \cdot 3 = 540^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.

4. Для четвертого столбца, где дана сумма углов $S=180^\circ$:
Найдём $n$ из формулы суммы углов: $S = 180^\circ \cdot (n-2) \implies 180^\circ = 180^\circ \cdot (n-2)$.
Отсюда $n-2 = 1 \implies n=3$.
Число диагоналей для $n=3$: $D = \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \cdot 0}{2} = 0$.

5. Для пятого столбца, где дано $n=8$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (8 - 2) = 180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20$.

6. Для шестого столбца, где дано $n=9$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (9 - 2) = 180^\circ \cdot 7 = 1260^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{9(9-3)}{2} = \frac{9 \cdot 6}{2} = 27$.

7. Для седьмого столбца, где дана сумма углов $S=1800^\circ$:
Найдём $n$: $1800^\circ = 180^\circ \cdot (n-2) \implies n-2 = \frac{1800}{180} = 10 \implies n=12$.
Число диагоналей для $n=12$: $D = \frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$.

Ответ:

б)

Используем те же формулы, что и в пункте а).

1. Для первого столбца, где дана сумма углов $S=180^\circ$:
Найдём $n$: $180^\circ = 180^\circ \cdot (n-2) \implies n-2=1 \implies n=3$.
Число диагоналей: $D = \frac{3(3-3)}{2} = 0$.

2. Для второго столбца, где дано $n=4$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (4 - 2) = 360^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{4(4-3)}{2} = 2$.

3. Для третьего столбца, где дано число диагоналей $D=5$:
Найдём $n$: $5 = \frac{n(n-3)}{2} \implies n^2 - 3n - 10 = 0$.
Корни уравнения: $n_1 = 5$ и $n_2 = -2$. Подходит $n=5$.
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (5 - 2) = 540^\circ$.

4. Для четвертого столбца, где дано $n=6$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (6 - 2) = 720^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{6(6-3)}{2} = 9$.

5. Для пятого столбца, где дано $n=7$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (7 - 2) = 900^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{7(7-3)}{2} = 14$.

6. Для шестого столбца, где дано $n=10$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (10 - 2) = 1440^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{10(10-3)}{2} = 35$.

7. Для седьмого столбца, где дано $n=11$:
Сумма углов: $S = 180^\circ \cdot (11 - 2) = 1620^\circ$.
Число диагоналей: $D = \frac{11(11-3)}{2} = 44$.

Ответ: