Номер 4.12, страница 66 - гдз по геометрии 7-9 класс сборник задач Кононов, Адамович

4.12. a) Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если биссектрисы его углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на два отрезка по 7 см.

б) Найдите периметр прямоугольника $ABCD$, если биссектрисы его углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на три отрезка по 5 см, при этом точка пересечения биссектрис лежит вне прямоугольника.

а)

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$, и биссектриса угла $B$ также пересекает $CD$ в точке $K$. По условию, биссектрисы углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на два отрезка. Это означает, что точка пересечения биссектрис должна лежать на самой стороне $CD$.

Эта точка $K$ делит сторону $CD$ на два отрезка, $DK$ и $CK$, каждый из которых по условию равен 7 см. Следовательно, $DK = 7$ см и $CK = 7$ см.

Длина стороны $CD$ (и равной ей стороны $AB$) равна сумме длин этих отрезков:
$CD = DK + CK = 7 + 7 = 14$ см.

Рассмотрим треугольник $ADK$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, угол $D$ равен $90^\circ$. $AK$ является биссектрисой угла $A$, поэтому угол $DAK$ равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Так как стороны $AB$ и $CD$ прямоугольника параллельны, то углы $KAB$ и $DKA$ являются накрест лежащими при секущей $AK$. Значит, $\angle DKA = \angle KAB$. А так как $AK$ — биссектриса, $\angle KAB = \angle DAK = 45^\circ$. Следовательно, $\angle DKA = 45^\circ$.

В треугольнике $ADK$ два угла равны ($\angle DAK = \angle DKA = 45^\circ$), значит, он является равнобедренным, и сторона $AD$ равна стороне $DK$. Поскольку $DK = 7$ см, то $AD = 7$ см. $AD$ — это ширина прямоугольника.

Итак, мы имеем прямоугольник со сторонами 14 см и 7 см.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2 \times (длина + ширина)$:
$P = 2 \times (CD + AD) = 2 \times (14 + 7) = 2 \times 21 = 42$ см.

Ответ: 42 см.

б)

Пусть $ABCD$ — данный прямоугольник. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $E$, а биссектриса угла $B$ — в точке $F$.

По условию, эти две биссектрисы делят сторону $CD$ на три равных отрезка по 5 см. Пусть это будут отрезки $DE$, $EF$ и $FC$. Тогда $DE = EF = FC = 5$ см.

Длина стороны $CD$ (и равной ей стороны $AB$) равна сумме длин этих трёх отрезков:
$CD = DE + EF + FC = 5 + 5 + 5 = 15$ см.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $D$ — прямой ($90^\circ$). $AE$ — биссектриса угла $A$, поэтому $\angle DAE = 90^\circ / 2 = 45^\circ$.

Поскольку $AB \parallel CD$, углы $EAB$ и $DEA$ равны как накрест лежащие при секущей $AE$. Так как $\angle EAB = \angle DAE = 45^\circ$, то и $\angle DEA = 45^\circ$.

Треугольник $ADE$ имеет два равных угла, следовательно, он равнобедренный, и $AD = DE$. Так как $DE = 5$ см, то ширина прямоугольника $AD = 5$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $BCF$. Угол $C$ — прямой ($90^\circ$). $BF$ — биссектриса угла $B$, поэтому $\angle CBF = 90^\circ / 2 = 45^\circ$. Углы $FBA$ и $CFB$ равны как накрест лежащие, поэтому $\angle CFB = 45^\circ$. Треугольник $BCF$ является равнобедренным, и $BC = FC$. Так как $FC = 5$ см, то $BC = 5$ см.

Мы получили прямоугольник со сторонами 15 см и 5 см.

Проверим дополнительное условие: "точка пересечения биссектрис лежит вне прямоугольника". Пусть биссектрисы $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $M$. В треугольнике $AMB$ углы $\angle MAB$ и $\angle MBA$ равны $45^\circ$. Значит, $\triangle AMB$ — равнобедренный, и его высота, опущенная из $M$ на $AB$, равна половине $AB$, то есть $15 / 2 = 7,5$ см. Это расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. Ширина прямоугольника $AD$ равна 5 см. Так как $7,5 > 5$, точка $M$ действительно лежит вне прямоугольника.

Найдем периметр: $P = 2 \times (CD + AD) = 2 \times (15 + 5) = 2 \times 20 = 40$ см.

Ответ: 40 см.