Номер 2.218, страница 144 - гдз по алгебре 8 класс учебник Арефьева, Пирютко

2.218. Выполните замену переменной и решите биквадратное уравнение:

а) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$

б) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0;$

в) $x^4 - 15x^2 - 16 = 0;$

г) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0;$

д) $x^4 - 14x^2 + 45 = 0;$

е) $9x^4 - 13x^2 + 4 = 0;$

ж) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0;$

з) $8x^4 - 19x^2 + 6 = 0.$

а) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$(x^2)^2 - 10(x^2) + 9 = 0$

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Корни легко подбираются: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Оба значения $t$ положительны, значит, они оба удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t = 1$, то $x^2 = 1$, откуда $x = \pm\sqrt{1}$, то есть $x_{1,2} = \pm 1$.
2. Если $t = 9$, то $x^2 = 9$, откуда $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x_{3,4} = \pm 3$.

Ответ: $\pm 1; \pm 3$.

б) $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$

Введем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 13t + 36 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 13, произведение равно 36. Отсюда $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня неотрицательны и подходят для дальнейшего решения.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 4 \implies x = \pm\sqrt{4} \implies x_{1,2} = \pm 2$.
2. $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x_{3,4} = \pm 3$.

Ответ: $\pm 2; \pm 3$.

в) $x^4 - 15x^2 - 16 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 15t - 16 = 0$

Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4(1)(-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 \pm 17}{2}$

$t_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$t_2 = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Используем только $t_1 = 16$.

Обратная замена: $x^2 = 16 \implies x = \pm\sqrt{16} \implies x = \pm 4$.

Ответ: $\pm 4$.

г) $x^4 - 7x^2 + 6 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 7t + 6 = 0$

По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 6$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_{1,2} = \pm 1$.
2. $x^2 = 6 \implies x = \pm\sqrt{6}$.

Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt{6}$.

д) $x^4 - 14x^2 + 45 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 14t + 45 = 0$

По теореме Виета: $t_1 = 5$, $t_2 = 9$. Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.
2. $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x_{3,4} = \pm 3$.

Ответ: $\pm 3; \pm \sqrt{5}$.

е) $9x^4 - 13x^2 + 4 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$9t^2 - 13t + 4 = 0$

Решим через дискриминант: $D = (-13)^2 - 4(9)(4) = 169 - 144 = 25 = 5^2$.

$t = \frac{13 \pm 5}{2 \cdot 9} = \frac{13 \pm 5}{18}$

$t_1 = \frac{13+5}{18} = \frac{18}{18} = 1$

$t_2 = \frac{13-5}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

Оба корня положительны.

Обратная замена:

1. $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
2. $x^2 = \frac{4}{9} \implies x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}} \implies x = \pm \frac{2}{3}$.

Ответ: $\pm 1; \pm \frac{2}{3}$.

ж) $2x^4 - 19x^2 + 9 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$2t^2 - 19t + 9 = 0$

Решим через дискриминант: $D = (-19)^2 - 4(2)(9) = 361 - 72 = 289 = 17^2$.

$t = \frac{19 \pm 17}{2 \cdot 2} = \frac{19 \pm 17}{4}$

$t_1 = \frac{19+17}{4} = \frac{36}{4} = 9$

$t_2 = \frac{19-17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны.

Обратная замена:

1. $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x = \pm 3$.
2. $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\pm 3; \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

з) $8x^4 - 19x^2 + 6 = 0$

Пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$8t^2 - 19t + 6 = 0$

Решим через дискриминант: $D = (-19)^2 - 4(8)(6) = 361 - 192 = 169 = 13^2$.

$t = \frac{19 \pm 13}{2 \cdot 8} = \frac{19 \pm 13}{16}$

$t_1 = \frac{19+13}{16} = \frac{32}{16} = 2$

$t_2 = \frac{19-13}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Оба корня положительны.

Обратная замена:

1. $x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
2. $x^2 = \frac{3}{8} \implies x = \pm\sqrt{\frac{3}{8}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: $\pm \sqrt{2}; \pm \frac{\sqrt{6}}{4}$.