Номер 1.24, страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.24. Найдите, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $x^2 - 9x + 1;$

б) $3x - \frac{8x+1}{5};$

в) $\frac{x+7}{x-5} - \frac{2}{x};$

г) $\frac{x+4}{5x-1} + \frac{6x}{x+2};$

д) $\frac{12}{x^2-8x} + \frac{5}{x+6};$

е) $\frac{7}{x^2-36} - \frac{8}{x^2+49}.$

Чтобы найти, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Основное ограничение для алгебраических дробей — знаменатель не может быть равен нулю.

а) Выражение $x^2 - 9x + 1$ является многочленом (полиномом). Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как в них отсутствуют операции деления на переменную или извлечения корня.
Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

б) В выражении $3x - \frac{8x+1}{5}$ есть дробный член, но его знаменатель — число 5, которое не равно нулю и не зависит от переменной $x$. Поэтому выражение определено для любых действительных значений $x$.
Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

в) Выражение $\frac{x+7}{x-5} - \frac{2}{x}$ содержит две дроби, знаменатели которых зависят от переменной $x$. Для того чтобы выражение имело смысл, оба знаменателя должны быть отличны от нуля.
1. Знаменатель первой дроби: $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$.
2. Знаменатель второй дроби: $x \neq 0$.
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 0 и 5.
Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = 5$.

г) Выражение $\frac{x+4}{5x-1} + \frac{6x}{x+2}$ является суммой двух дробей. Оба знаменателя не должны равняться нулю.
1. Знаменатель первой дроби: $5x - 1 \neq 0 \implies 5x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{5}$.
2. Знаменатель второй дроби: $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме -2 и $\frac{1}{5}$.
Ответ: все числа, кроме $x = -2$ и $x = \frac{1}{5}$.

д) В выражении $\frac{12}{x^2-8x} + \frac{5}{x+6}$ знаменатели обоих дробей должны быть ненулевыми.
1. Знаменатель первой дроби: $x^2 - 8x \neq 0$. Разложим на множители: $x(x-8) \neq 0$. Это условие выполняется, когда $x \neq 0$ и $x-8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$.
2. Знаменатель второй дроби: $x + 6 \neq 0 \implies x \neq -6$.
Объединяя все условия, получаем, что выражение имеет смысл при всех $x$, кроме -6, 0 и 8.
Ответ: все числа, кроме $x = -6$, $x = 0$ и $x = 8$.

е) В выражении $\frac{7}{x^2-36} - \frac{8}{x^2+49}$ также необходимо, чтобы знаменатели не обращались в ноль.
1. Знаменатель первой дроби: $x^2 - 36 \neq 0$. Это разность квадратов: $(x-6)(x+6) \neq 0$. Отсюда $x \neq 6$ и $x \neq -6$.
2. Знаменатель второй дроби: $x^2 + 49 \neq 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 49 \ge 49$. Это означает, что знаменатель $x^2+49$ никогда не равен нулю.
Таким образом, ограничения накладывает только первый знаменатель.
Ответ: все числа, кроме $x = -6$ и $x = 6$.