номер 1, страница 105 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

1. При каком значении угла бросания достигается максимум дальности полета при заданной начальной скорости?

Дано:

$v_0$ - начальная скорость тела (const)

$g$ - ускорение свободного падения (const)

Найти:

Угол бросания $\alpha$, при котором дальность полета $L$ максимальна.

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренного движения вдоль вертикальной оси (Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Начало координат $(0,0)$ поместим в точку бросания.

Начальная скорость $v_0$ образует угол $\alpha$ с горизонтом. Ее проекции на оси координат равны:

$v_{0x} = v_0 \cos \alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

Уравнения движения для координат $x$ и $y$ в зависимости от времени $t$:

$x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha)t$

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin \alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Дальность полета $L$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетит тело за всё время полета $T$. Время полета $T$ — это время, через которое тело вернется на начальную высоту, то есть при $y(T) = 0$.

Найдем время полета $T$ из условия $y(T) = 0$:

$(v_0 \sin \alpha)T - \frac{gT^2}{2} = 0$

$T \left( v_0 \sin \alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$

Данное уравнение имеет два решения: $T_1 = 0$, что соответствует моменту начала движения, и $T_2 = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$, что соответствует полному времени полета.

Подставим время полета $T = T_2$ в уравнение для координаты $x$, чтобы найти дальность полета $L$:

$L = x(T) = (v_0 \cos \alpha) \cdot T = (v_0 \cos \alpha) \cdot \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = \frac{v_0^2 \cdot (2\sin\alpha\cos\alpha)}{g}$

Применяя тригонометрическую формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha)$, получаем зависимость дальности полета от угла бросания:

$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Чтобы найти максимальную дальность полета $L_{max}$, необходимо найти значение угла $\alpha$, при котором функция $L(\alpha)$ достигает своего максимума. Так как начальная скорость $v_0$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами, дальность полета $L$ будет максимальной, когда множитель $\sin(2\alpha)$ примет свое максимальное значение.

Максимальное значение функции синус равно 1. Следовательно, для максимальной дальности полета должно выполняться условие:

$\sin(2\alpha) = 1$

Это равенство истинно, когда аргумент функции синус равен $90^\circ$ (или $\pi/2$ радиан).

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = 45^\circ$

Таким образом, для достижения максимальной дальности полета при заданной начальной скорости, тело необходимо бросить под углом $45^\circ$ к горизонту.

Ответ: Максимум дальности полета достигается при угле бросания $45^\circ$.