Номер 6, страница 53 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

6. Кинематический закон движения брошенного вверх мяча во время игры детей на площадке имеет вид $y = At - Bt^2$, где $A = 15,0 \frac{M}{c}$, $B = 5,0 \frac{M}{c^2}$. Определите путь, модуль перемещения и координату мяча к моментам времени $t_1 = 1,0$ с, $t_2 = 2,0$ с и $t_3 = 3,0$ с от начала движения. Постройте графики зависимости от времени проекций ускорения и скорости, координаты мяча, модуля перемещения и пути.

Дано:

Кинематический закон движения мяча: $y(t) = At - Bt^2$

$A = 15,0 \frac{м}{с}$

$B = 5,0 \frac{м}{с^2}$

$t_1 = 1,0 \text{ с}$

$t_2 = 2,0 \text{ с}$

$t_3 = 3,0 \text{ с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Координату $y$, модуль перемещения $|\Delta y|$ и путь $S$ для моментов времени $t_1, t_2, t_3$.

2. Построить графики зависимостей от времени: $a_y(t)$, $v_y(t)$, $y(t)$, $|\Delta y(t)|$, $S(t)$.

Решение:

1. Определение физических величин в заданные моменты времени

Для начала найдем общие выражения для проекции скорости $v_y$ и проекции ускорения $a_y$ мяча, а также определим важные параметры движения, такие как время подъема и максимальная высота.

Проекция скорости $v_y$ является первой производной от координаты $y$ по времени $t$:

$v_y(t) = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(At - Bt^2) = A - 2Bt$

Подставив числовые значения, получим:

$v_y(t) = 15 - 2 \cdot 5 \cdot t = 15 - 10t \quad (\frac{м}{с})$

Проекция ускорения $a_y$ является первой производной от проекции скорости $v_y$ по времени $t$:

$a_y(t) = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(A - 2Bt) = -2B$

Подставив числовое значение, получим:

$a_y = -2 \cdot 5 = -10 \frac{м}{с^2}$

Ускорение постоянно и направлено против начальной скорости (ось $y$ направлена вверх).

Мяч достигает максимальной высоты подъема в момент времени $t_{max}$, когда его скорость становится равной нулю:

$v_y(t_{max}) = 0 \Rightarrow A - 2Bt_{max} = 0$

$t_{max} = \frac{A}{2B} = \frac{15}{2 \cdot 5} = 1,5 \text{ с}$

Максимальная высота подъема $y_{max}$ равна координате в момент времени $t_{max}$:

$y_{max} = y(t_{max}) = A t_{max} - B t_{max}^2 = 15 \cdot 1,5 - 5 \cdot (1,5)^2 = 22,5 - 5 \cdot 2,25 = 22,5 - 11,25 = 11,25 \text{ м}$

Теперь рассчитаем требуемые величины для заданных моментов времени. Начальная координата мяча $y_0 = y(0) = 0$.

Для момента времени $t_1 = 1,0$ с:

Так как $t_1 < t_{max}$ ($1,0 \text{ с} < 1,5 \text{ с}$), мяч движется вверх, не меняя направления.

Координата: $y_1 = y(1,0) = 15 \cdot 1,0 - 5 \cdot (1,0)^2 = 15 - 5 = 10,0 \text{ м}$.

Перемещение: $\Delta y_1 = y_1 - y_0 = 10,0 - 0 = 10,0 \text{ м}$.

Модуль перемещения: $|\Delta y_1| = |10,0 \text{ м}| = 10,0 \text{ м}$.

Путь: Так как направление движения не менялось, путь равен модулю перемещения: $S_1 = |\Delta y_1| = 10,0 \text{ м}$.

Для момента времени $t_2 = 2,0$ с:

Так как $t_2 > t_{max}$ ($2,0 \text{ с} > 1,5 \text{ с}$), мяч достиг максимальной высоты и начал двигаться вниз.

Координата: $y_2 = y(2,0) = 15 \cdot 2,0 - 5 \cdot (2,0)^2 = 30 - 5 \cdot 4 = 30 - 20 = 10,0 \text{ м}$.

Перемещение: $\Delta y_2 = y_2 - y_0 = 10,0 - 0 = 10,0 \text{ м}$.

Модуль перемещения: $|\Delta y_2| = |10,0 \text{ м}| = 10,0 \text{ м}$.

Путь: Путь складывается из пути наверх до максимальной высоты и пути вниз от максимальной высоты до текущего положения.

$S_2 = y_{max} + (y_{max} - y_2) = 11,25 + (11,25 - 10,0) = 11,25 + 1,25 = 12,5 \text{ м}$.

Для момента времени $t_3 = 3,0$ с:

Так как $t_3 > t_{max}$ ($3,0 \text{ с} > 1,5 \text{ с}$), мяч продолжает движение вниз.

Координата: $y_3 = y(3,0) = 15 \cdot 3,0 - 5 \cdot (3,0)^2 = 45 - 5 \cdot 9 = 45 - 45 = 0 \text{ м}$. (Мяч вернулся в начальную точку).

Перемещение: $\Delta y_3 = y_3 - y_0 = 0 - 0 = 0 \text{ м}$.

Модуль перемещения: $|\Delta y_3| = |0 \text{ м}| = 0 \text{ м}$.

Путь: Путь равен пути наверх до $y_{max}$ и пути вниз до $y=0$.

$S_3 = y_{max} + y_{max} = 2 \cdot y_{max} = 2 \cdot 11,25 = 22,5 \text{ м}$.

Ответ:

• При $t_1 = 1,0$ с: координата $y_1 = 10,0$ м, модуль перемещения $|\Delta y_1| = 10,0$ м, путь $S_1 = 10,0$ м.
• При $t_2 = 2,0$ с: координата $y_2 = 10,0$ м, модуль перемещения $|\Delta y_2| = 10,0$ м, путь $S_2 = 12,5$ м.
• При $t_3 = 3,0$ с: координата $y_3 = 0$ м, модуль перемещения $|\Delta y_3| = 0$ м, путь $S_3 = 22,5$ м.

2. Построение графиков

График зависимости проекции ускорения от времени $a_y(t)$

Функция: $a_y(t) = -10$. Это прямая, параллельная оси времени.

График зависимости проекции скорости от времени $v_y(t)$

Функция: $v_y(t) = 15 - 10t$. Это прямая линия с отрицательным наклоном.

График зависимости координаты от времени $y(t)$

Функция: $y(t) = 15t - 5t^2$. Это парабола с ветвями, направленными вниз.

График зависимости модуля перемещения от времени $|\Delta y(t)|$

Поскольку $y_0=0$, перемещение $\Delta y(t) = y(t)$. На рассматриваемом интервале $t \in [0, 3]$ координата $y(t) \ge 0$. Следовательно, $|\Delta y(t)| = y(t)$. График полностью совпадает с графиком координаты $y(t)$.

График зависимости пути от времени $S(t)$

Функция для пути имеет два участка:

• При $t \in [0, 1.5]$: $S(t) = y(t) = 15t - 5t^2$.
• При $t \in [1.5, 3]$: $S(t) = 2y_{max} - y(t) = 22,5 - (15t - 5t^2) = 5t^2 - 15t + 22,5$.

График состоит из двух параболических сегментов.