Номер 1.368, страница 124 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.368. Используйте формулы приведения и приведите к тригонометрической функции угла α:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$;

б) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$;

в) $\operatorname{tg}(\pi + \alpha)$;

г) $\sin(\pi + \alpha)$;

д) $\cos(2\pi + \alpha)$;

е) $\operatorname{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right)$.

Для решения данной задачи используются формулы приведения. Общее правило заключается в следующем:

1. Определяется знак исходной функции в той координатной четверти, в которой находится угол, если считать угол $\alpha$ острым.
2. Если в формуле присутствуют углы $\pi$ или $2\pi$, то название функции не меняется. Если же присутствуют углы $\frac{\pi}{2}$ или $\frac{3\pi}{2}$, то название функции меняется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).

а) Рассматриваем выражение $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)$. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти. Знак синуса в I четверти — положительный. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция $\sin$ меняется на $\cos$. В результате получаем: $\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

б) Рассматриваем выражение $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти. Знак косинуса во II четверти — отрицательный. Так как в формуле присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция $\cos$ меняется на $\sin$. В результате получаем: $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$.

в) Рассматриваем выражение $\tg(\pi + \alpha)$. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти. Знак тангенса в III четверти — положительный. Так как в формуле присутствует $\pi$, название функции $\tg$ не меняется. В результате получаем: $\tg(\pi + \alpha) = \tg(\alpha)$.
Ответ: $\tg(\alpha)$.

г) Рассматриваем выражение $\sin(\pi + \alpha)$. Угол $\pi + \alpha$ находится в III четверти. Знак синуса в III четверти — отрицательный. Так как в формуле присутствует $\pi$, название функции $\sin$ не меняется. В результате получаем: $\sin(\pi + \alpha) = -\sin(\alpha)$.
Ответ: $-\sin(\alpha)$.

д) Рассматриваем выражение $\cos(2\pi + \alpha)$. Функция косинуса имеет период $2\pi$, поэтому $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$. Если применять общее правило: угол $2\pi + \alpha$ находится в I четверти. Знак косинуса в I четверти — положительный. Так как в формуле присутствует $2\pi$, название функции $\cos$ не меняется. В результате получаем: $\cos(2\pi + \alpha) = \cos(\alpha)$.
Ответ: $\cos(\alpha)$.

е) Рассматриваем выражение $\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha)$. Угол $\frac{3\pi}{2} + \alpha$ находится в IV четверти. Знак котангенса в IV четверти — отрицательный. Так как в формуле присутствует $\frac{3\pi}{2}$, функция $\ctg$ меняется на $\tg$. В результате получаем: $\ctg(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tg(\alpha)$.
Ответ: $-\tg(\alpha)$.