Номер 380, страница 59 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

380. В основании призмы лежит ромб с диагоналями $a$ и $b$, боковое ребро призмы равно $l$ и наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$, одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания. Найдите возможные значения площади боковой поверхности.

C M B

Рис. 137

Пусть в основании призмы лежит ромб $ABCD$ с диагоналями $AC=a$ и $BD=b$. Сторона ромба $s$ может быть найдена из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной ромба:

$s^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2$, откуда $s = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}$.

Призма является наклонной, так как боковое ребро длиной $l$ наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$. Высота призмы $H$ равна $H = l \cdot \sin(60^\circ) = \frac{l\sqrt{3}}{2}$.

Условие "одно из диагональных сечений перпендикулярно плоскости основания" означает, что проекция бокового ребра на плоскость основания совпадает с одной из диагоналей. Это приводит к двум возможным случаям.

Площадь боковой поверхности призмы $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней, которые являются параллелограммами. В силу симметрии ромба все четыре боковые грани являются равными параллелограммами. Найдем площадь одной такой грани $S_{грани}$ и умножим на 4.

Для нахождения площади грани воспользуемся векторным методом. Пусть центр ромба находится в начале координат $O(0,0,0)$. Разместим вершины ромба на осях координат.

Случай 1: Диагональное сечение, проходящее через диагональ $a$, перпендикулярно основанию.

В этом случае диагональ $AC$ длиной $a$ лежит на оси $Ox$, а диагональ $BD$ длиной $b$ — на оси $Oy$. Координаты вершин основания: $A(\frac{a}{2}, 0, 0)$, $B(0, \frac{b}{2}, 0)$. Проекция бокового ребра $AA'$ на плоскость основания $Oxy$ лежит на диагонали $AC$ (ось $Ox$). Длина этой проекции равна $l \cdot \cos(60^\circ) = \frac{l}{2}$. Вертикальная составляющая вектора бокового ребра $\vec{v} = \vec{AA'}$ равна высоте призмы $H = \frac{l\sqrt{3}}{2}$. Таким образом, вектор бокового ребра: $\vec{v} = (\frac{l}{2}, 0, \frac{l\sqrt{3}}{2})$. Найдем площадь боковой грани $ABB'A'$, которая равна модулю векторного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AA'}$.

Вектор $\vec{AB} = B - A = (0 - \frac{a}{2}, \frac{b}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)$. Площадь грани $S_{грани} = |\vec{AB} \times \vec{v}|$.

$\vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a/2 & b/2 & 0 \\ l/2 & 0 & l\sqrt{3}/2 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{b}{2} \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} - 0) - \vec{j}(-\frac{a}{2} \cdot \frac{l\sqrt{3}}{2} - 0) + \vec{k}(0 - \frac{b}{2} \cdot \frac{l}{2}) = \frac{bl\sqrt{3}}{4}\vec{i} + \frac{al\sqrt{3}}{4}\vec{j} - \frac{bl}{4}\vec{k}$

Модуль этого вектора равен:

$S_{грани} = \sqrt{(\frac{bl\sqrt{3}}{4})^2 + (\frac{al\sqrt{3}}{4})^2 + (-\frac{bl}{4})^2} = \sqrt{\frac{3b^2l^2}{16} + \frac{3a^2l^2}{16} + \frac{b^2l^2}{16}} = \sqrt{\frac{l^2(3a^2 + 4b^2)}{16}} = \frac{l}{4}\sqrt{3a^2 + 4b^2}$

Площадь боковой поверхности $S_{бок1}$ равна $4 \cdot S_{грани}$:

$S_{бок1} = 4 \cdot \frac{l}{4}\sqrt{3a^2 + 4b^2} = l\sqrt{3a^2 + 4b^2}$

Ответ: $l\sqrt{3a^2 + 4b^2}$

Случай 2: Диагональное сечение, проходящее через диагональ $b$, перпендикулярно основанию.

Этот случай полностью аналогичен первому, но теперь призма "наклонена" вдоль диагонали $b$. Проекция бокового ребра на плоскость основания лежит на прямой, содержащей диагональ $b$. Результат можно получить, поменяв в формуле из первого случая $a$ и $b$ местами.

$S_{бок2} = l\sqrt{3b^2 + 4a^2}$

Для формального вывода можно положить диагональ $b$ на ось $Ox$, а $a$ на ось $Oy$. Тогда $A(0, \frac{a}{2}, 0)$, $B(\frac{b}{2}, 0, 0)$. Вектор бокового ребра будет $\vec{v} = (\frac{l}{2}, 0, \frac{l\sqrt{3}}{2})$. Вектор $\vec{AB} = (\frac{b}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$. Векторное произведение даст $|\vec{AB} \times \vec{v}| = \frac{l}{4}\sqrt{3b^2 + 4a^2}$, что приводит к тому же ответу.

Ответ: $l\sqrt{4a^2 + 3b^2}$