Номер 622, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

622. Высота правильной четырехугольной пирамиды центром описанной сферы разделяется в отношении 2 : 1, ребро основания равно $a$ (рис. 206). Найдите:

а) радиус описанной около пирамиды сферы;

б) площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро основания и центр сферы.

Рис. 206

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. $SO$ — высота пирамиды, $H = SO$. Сторона основания $AB = a$. Центр $O_сф$ описанной сферы лежит на высоте пирамиды $SO$. По условию, центр $O_сф$ делит высоту $SO$ в отношении $2:1$, считая от вершины $S$. Это означает, что $SO_сф : O_сфO = 2 : 1$.

а) радиус описанной около пирамиды сферы;

Обозначим радиус описанной сферы как $R$. Все вершины пирамиды лежат на сфере, поэтому расстояние от центра сферы $O_сф$ до любой вершины равно радиусу $R$.

В частности, $R = SO_сф$ (расстояние до вершины $S$). Пусть $O_сфO = x$, тогда $SO_сф = 2x$. Таким образом, $R = 2x$, а вся высота пирамиды $H = SO = SO_сф + O_сфO = 2x + x = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔO_сфOA$, где $A$ — одна из вершин основания. Катеты этого треугольника: 1. $O_сфO = x$ 2. $OA$ — половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = a\sqrt{2}$, следовательно, $OA = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Гипотенуза $O_сфA$ также является радиусом сферы, $O_сфA = R$. По теореме Пифагора для $ΔO_сфOA$: $R^2 = (O_сфO)^2 + (OA)^2$ Подставим известные выражения для $R$, $O_сфO$ и $OA$: $(2x)^2 = x^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2$ $4x^2 = x^2 + \frac{2a^2}{4}$ $4x^2 = x^2 + \frac{a^2}{2}$ $3x^2 = \frac{a^2}{2}$ $x^2 = \frac{a^2}{6}$ $x = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$

Теперь найдем радиус $R$: $R = 2x = 2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

б) площадь сечения пирамиды, проходящего через ребро основания и центр сферы.

Пусть секущая плоскость проходит через ребро основания $CD$ и центр сферы $O_сф$. Эта плоскость пересекает боковые грани $SAD$ и $SBC$. Обозначим точки пересечения с ребрами $SA$ и $SB$ как $Q$ и $P$ соответственно. Полученное сечение — четырехугольник $CDQP$.

Поскольку $AB || CD$, то линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани $SAB$ (прямая $QP$) будет параллельна линии пересечения с плоскостью основания (прямой $CD$). Таким образом, $QP || CD$, и сечение $CDQP$ является трапецией. Из-за симметрии пирамиды трапеция является равнобокой.

Найдем длину верхнего основания $QP$. Для этого определим, в каком отношении плоскость делит боковые ребра. Можно показать (например, методом координат), что секущая плоскость пересекает ребра $SA$ и $SB$ ровно в их серединах. Следовательно, $QP$ является средней линией треугольника $SAB$. $QP = \frac{1}{2} AB = \frac{a}{2}$

Теперь найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Пусть $M$ — середина $CD$, а $N$ — середина $QP$. Высота трапеции — это длина отрезка $MN$. Найдем высоту $h_{тр}$ как гипотенузу в прямоугольном треугольнике, где катеты — это разность высот точек $M$ и $N$ и проекция отрезка $MN$ на основание пирамиды.

Вертикальный катет: Точка $M$ лежит в основании, ее высота равна 0. Точки $Q$ и $P$ — середины ребер $SA$ и $SB$, поэтому их высота равна половине высоты пирамиды $H$. Точка $N$ (середина $QP$) также имеет высоту $\frac{H}{2}$. Найдем $H$: $H = 3x = 3 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{2}$. Высота точки $N$ над основанием равна $\frac{H}{2} = \frac{a\sqrt{6}}{4}$.

Горизонтальный катет: Это проекция $MN$ на плоскость основания. Пусть $O$ — центр основания, $K$ — середина $AB$. Проекция $M$ — это сама точка $M$. Проекция $N$ (обозначим $N'$) является серединой отрезка, соединяющего проекции точек $Q$ и $P$. Проекции $Q$ и $P$ — это середины отрезков $OA$ и $OB$ соответственно. Следовательно, $N'$ лежит на отрезке $OK$ и делит его пополам. Расстояние $OM = \frac{a}{2}$. Расстояние $ON' = \frac{1}{2}OK = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a}{4}$. Длина проекции $MN'$ равна $OM + ON' = \frac{a}{2} + \frac{a}{4} = \frac{3a}{4}$.

По теореме Пифагора найдем высоту трапеции $h_{тр} = MN$: $h_{тр}^2 = (\frac{3a}{4})^2 + (\frac{H}{2})^2 = (\frac{3a}{4})^2 + (\frac{a\sqrt{6}}{4})^2$ $h_{тр}^2 = \frac{9a^2}{16} + \frac{6a^2}{16} = \frac{15a^2}{16}$ $h_{тр} = \sqrt{\frac{15a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{15}}{4}$

Теперь вычислим площадь трапеции $S_{CDQP}$: $S_{сеч} = \frac{CD + QP}{2} \cdot h_{тр} = \frac{a + \frac{a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{4}$ $S_{сеч} = \frac{\frac{3a}{2}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{4} = \frac{3a}{4} \cdot \frac{a\sqrt{15}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{15}}{16}$

Ответ: $\frac{3a^2\sqrt{15}}{16}$