Номер 633, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

633. В правильный тетраэдр вписана сфера. Плоскость, проходящая через ребро, делит объем тетраэдра в отношении $m : n$. Найдите, в каком отношении эта плоскость разделяет площадь сферы, учитывая, что:

a) $(m; n) = (1; 3)$;

б) $(m; n) = (1; 5)$.

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с ребром $a$. Плоскость $P$, проходящая через ребро $AB$, пересекает противоположное ребро $CD$ в точке $K$. Эта плоскость делит тетраэдр на две части: тетраэдры $ABCK$ и $ABDK$.

Отношение объемов этих тетраэдров связано с положением точки $K$ на ребре $CD$. Рассмотрим тетраэдры $A-BCK$ и $A-BDK$. У них общая вершина $A$, а их основания $BCK$ и $BDK$ лежат в одной плоскости (плоскости грани $BCD$). Следовательно, отношение их объемов равно отношению площадей их оснований: $V_{A-BCK} / V_{A-BDK} = S_{BCK} / S_{BDK}$. Треугольники $BCK$ и $BDK$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $CD$. Поэтому отношение их площадей равно отношению длин оснований: $S_{BCK} / S_{BDK} = CK/DK$. Таким образом, отношение объемов частей, на которые плоскость делит исходный тетраэдр, равно $V_{ABCK} / V_{ABDK} = CK / DK$.

По условию, это отношение равно $m:n$. Будем считать, что $CK/DK = m/n$.

Плоскость $P$ пересекает вписанную в тетраэдр сферу. Пусть $R$ — радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра сферы $O$ (который совпадает с центром тетраэдра) до плоскости $P$. Плоскость делит сферу на два сферических сегмента. Площади поверхностей этих сегментов (сферических шапочек) относятся как их высоты: $S_1 / S_2 = h_1 / h_2 = (R-d) / (R+d)$. Это отношение можно записать как $(1 - d/R) / (1 + d/R)$. Задача сводится к нахождению отношения $k = d/R$.

Для нахождения этого отношения введем систему координат с центром в точке $O$. Пусть середины ребер $AB$ и $CD$ лежат на оси $Oz$, а сами ребра параллельны осям $Ox$ и $Oy$ соответственно. При длине ребра $a$ координаты вершин будут:

$A = (-a/2, 0, -a/(2\sqrt{2}))$, $B = (a/2, 0, -a/(2\sqrt{2}))$, $C = (0, -a/2, a/(2\sqrt{2}))$, $D = (0, a/2, a/(2\sqrt{2}))$.

Точка $K$ делит отрезок $CD$ в отношении $CK:DK = m:n$. Ее координаты находятся по формуле $K = \frac{nC + mD}{m+n}$:

$K = (0, \frac{a}{2}\frac{m-n}{m+n}, \frac{a}{2\sqrt{2}})$

Нормальный вектор $\vec{N}$ к плоскости $P$, проходящей через точки $A$, $B$, $K$, можно найти как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AK}$.

$\vec{AB} = (a, 0, 0)$, $\vec{AK} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\frac{m-n}{m+n}, \frac{a}{\sqrt{2}})$.

$\vec{N} = (0, -\frac{a^2}{\sqrt{2}}, \frac{a^2(m-n)}{2(m+n)})$.

Уравнение плоскости $P$ имеет вид $A'x+B'y+C'z+D'=0$. Используя координаты нормального вектора и координаты точки $B$, получаем уравнение плоскости:

$-\sqrt{2}(m+n)y + (m-n)z + \frac{a(m-n)}{2\sqrt{2}} = 0$.

Расстояние $d$ от начала координат $O(0,0,0)$ до этой плоскости равно:

$d = \frac{|\frac{a(m-n)}{2\sqrt{2}}|}{\sqrt{(-\sqrt{2}(m+n))^2 + (m-n)^2}} = \frac{a|m-n|}{2\sqrt{2}\sqrt{2(m+n)^2 + (m-n)^2}} = \frac{a|m-n|}{2\sqrt{2}\sqrt{3m^2+2mn+3n^2}}$.

Радиус $R$ вписанной в правильный тетраэдр сферы с ребром $a$ известен: $R = \frac{a\sqrt{6}}{12} = \frac{a}{2\sqrt{6}}$.

Теперь найдем искомое отношение $k = d/R$:

$k = \frac{d}{R} = \frac{a|m-n|}{2\sqrt{2}\sqrt{3m^2+2mn+3n^2}} \cdot \frac{2\sqrt{6}}{a} = \frac{\sqrt{3}|m-n|}{\sqrt{3m^2+2mn+3n^2}} = \sqrt{\frac{3(m-n)^2}{3m^2+2mn+3n^2}}$.

Искомое отношение площадей поверхности сферы равно $\frac{1-k}{1+k}$.

a) (m; n) = (1; 3)

Подставим $m=1$ и $n=3$ в формулу для $k$:

$k = \sqrt{\frac{3(1-3)^2}{3(1)^2+2(1)(3)+3(3)^2}} = \sqrt{\frac{3(-2)^2}{3+6+27}} = \sqrt{\frac{12}{36}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3-1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Отношение площадей равно $(2 - \sqrt{3}):1$.

Ответ: $(2 - \sqrt{3}):1$.

б) (m; n) = (1; 5)

Подставим $m=1$ и $n=5$ в формулу для $k$:

$k = \sqrt{\frac{3(1-5)^2}{3(1)^2+2(1)(5)+3(5)^2}} = \sqrt{\frac{3(-4)^2}{3+10+75}} = \sqrt{\frac{48}{88}} = \sqrt{\frac{6}{11}}$.

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1 - \sqrt{6/11}}{1 + \sqrt{6/11}} = \frac{\sqrt{11}-\sqrt{6}}{\sqrt{11}+\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{11}-\sqrt{6})^2}{(\sqrt{11}+\sqrt{6})(\sqrt{11}-\sqrt{6})} = \frac{11 - 2\sqrt{66} + 6}{11-6} = \frac{17 - 2\sqrt{66}}{5}$.

Отношение площадей равно $(17 - 2\sqrt{66}):5$.

Ответ: $(17 - 2\sqrt{66}):5$.