Номер 893, страница 126 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

893. Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ равны $b$ и $a$ соответственно, точка $K$ на стороне $BC$ выбрана так, что $AK : KB = m : n$. Установите условие, при котором:

а) $\angle AKC > \angle KCB$;

б) $\angle AKC < \angle KCB$;

в) $\angle AKC = \angle KCB$.

Обозначим $∠KCB$ как $∠C$ и $∠ABC$ как $∠B$. Угол $∠AKC$ является внешним углом для треугольника $ABK$, следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $∠AKC = ∠ABC + ∠BAK = ∠B + ∠BAK$. Таким образом, задача сводится к сравнению величины $∠B + ∠BAK$ с величиной $∠C$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABK$: $\frac{AK}{\sin B} = \frac{KB}{\sin \angle BAK}$ Отсюда получаем отношение: $\frac{AK}{KB} = \frac{\sin B}{\sin \angle BAK}$. Согласно условию задачи $AK : KB = m : n$, поэтому: $\frac{m}{n} = \frac{\sin B}{\sin \angle BAK}$ Из этого соотношения выразим синус угла $∠BAK$: $\sin \angle BAK = \frac{n}{m} \sin B$

Далее, для установления условия, связывающего стороны $a$ и $b$ и параметры $m$ и $n$, воспользуемся методом проекций. Для любого треугольника $ABC$ верна формула проекции: $a = b \cos C + c \cos B$, где $c = AB$. Рассмотрим равенство $\sin(C-B) = \sin C \cos B - \cos C \sin B$. Свяжем его с нашим условием.

а) $∠AKC > ∠KCB$

Это неравенство эквивалентно $∠B + ∠BAK > ∠C$, или $∠BAK > ∠C - ∠B$. При условии, что углы $∠BAK$ и $∠C - ∠B$ находятся в области, где синус возрастает (что обычно верно для углов треугольника), это неравенство равносильно $\sin \angle BAK > \sin(C - B)$. Подставляем найденное выражение для $\sin \angle BAK$: $\frac{n}{m} \sin B > \sin C \cos B - \cos C \sin B$ Разделим обе части на $\sin B$ (считая $\sin B > 0$): $\frac{n}{m} > \frac{\sin C}{\sin B} \cos B - \cos C$ Используя теорему синусов для $ΔABC$ ($\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$), заменим $\frac{\sin C}{\sin B}$ на $\frac{c}{b}$: $\frac{n}{m} > \frac{c}{b} \cos B - \cos C$ Умножим на $b$: $\frac{bn}{m} > c \cos B - b \cos C$. Из формулы проекции $c \cos B = a - b \cos C$. Подставим это в неравенство: $\frac{bn}{m} > (a - b \cos C) - b \cos C$ $\frac{bn}{m} > a - 2b \cos C$ $2b \cos C > a - \frac{bn}{m}$ $\cos C > \frac{a - bn/m}{2b}$ $\cos C > \frac{ma - bn}{2mb}$
Ответ: $\cos(\angle KCB) > \frac{ma - bn}{2mb}$.

б) $∠AKC < ∠KCB$

Это неравенство эквивалентно $∠B + ∠BAK < ∠C$, или $∠BAK < ∠C - ∠B$. Проводя аналогичные пункту а) преобразования, но с противоположным знаком неравенства, получаем: $\sin \angle BAK < \sin(C - B)$ $\frac{n}{m} \sin B < \sin C \cos B - \cos C \sin B$ $\frac{bn}{m} < c \cos B - b \cos C$ $\frac{bn}{m} < a - 2b \cos C$ $2b \cos C < a - \frac{bn}{m}$ $\cos C < \frac{ma - bn}{2mb}$
Ответ: $\cos(\angle KCB) < \frac{ma - bn}{2mb}$.

в) $∠AKC = ∠KCB$

Это равенство эквивалентно $∠B + ∠BAK = ∠C$, или $∠BAK = ∠C - ∠B$. Проводя те же преобразования, что и в предыдущих пунктах, но со знаком равенства, получаем: $\sin \angle BAK = \sin(C - B)$ $\frac{n}{m} \sin B = \sin C \cos B - \cos C \sin B$ $\frac{bn}{m} = c \cos B - b \cos C$ $\frac{bn}{m} = a - 2b \cos C$ $2b \cos C = a - \frac{bn}{m}$ $\cos C = \frac{ma - bn}{2mb}$
Ответ: $\cos(\angle KCB) = \frac{ma - bn}{2mb}$.