Номер 319, страница 128 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

319. Через гипотенузу $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ под углом в $45^\circ$ к его плоскости проведена плоскость $\gamma$, отстоящая от вершины прямого угла $C$ на $l$ (рис. 326). Найдите площадь треугольника $ABC$.

Рис. 326

Пусть $△ABC$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $C$. Это означает, что его катеты равны: $AC = BC$.

Плоскость $γ$ проходит через гипотенузу $AB$. Угол между плоскостью треугольника $(ABC)$ и плоскостью $γ$ составляет $45°$. Расстояние от вершины $C$ до плоскости $γ$ по условию равно $l$.

Для нахождения этого расстояния и связи его с элементами треугольника выполним следующие построения, как показано на рисунке:

1. Опустим перпендикуляр $CC_1$ из точки $C$ на плоскость $γ$. По определению, $CC_1$ — это и есть расстояние от точки $C$ до плоскости $γ$, следовательно, $CC_1 = l$. Прямая $CC_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $γ$.

2. В треугольнике $ABC$ проведем медиану $CD$ к гипотенузе $AB$. Поскольку $△ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, его медиана, проведенная из вершины прямого угла, является также и высотой. Таким образом, $CD ⊥ AB$.

3. Рассмотрим отрезок $C_1D$. Он является проекцией наклонной $CD$ на плоскость $γ$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная $CD$ перпендикулярна прямой $AB$ (лежащей в плоскости $γ$), то и ее проекция $C_1D$ также перпендикулярна этой прямой $AB$. Значит, $C_1D ⊥ AB$.

4. Угол между двумя плоскостями (в данном случае $(ABC)$ и $γ$) измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Этот угол строится как угол между двумя перпендикулярами к линии их пересечения ($AB$), проведенными в одной точке. Мы построили такие перпендикуляры: $CD ⊥ AB$ и $C_1D ⊥ AB$. Следовательно, угол $∠CDC_1$ — это линейный угол двугранного угла, и по условию $∠CDC_1 = 45°$.

Теперь рассмотрим треугольник $△CC_1D$.

Так как $CC_1 ⊥ γ$, то $CC_1 ⊥ C_1D$. Это означает, что $△CC_1D$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $∠CC_1D = 90°$. В этом треугольнике нам известны катет $CC_1 = l$ и острый угол $∠CDC_1 = 45°$. Мы можем найти длину гипотенузы $CD$ этого треугольника:

$\sin(∠CDC_1) = \frac{CC_1}{CD}$

$CD = \frac{CC_1}{\sin(45°)} = \frac{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2l}{\sqrt{2}} = l\sqrt{2}$

Теперь вернемся к исходному треугольнику $△ABC$. Отрезок $CD$ является медианой, проведенной к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника, медиана к гипотенузе равна ее половине:

$CD = \frac{1}{2}AB$

Отсюда мы можем найти длину гипотенузы $AB$:

$AB = 2 \cdot CD = 2 \cdot l\sqrt{2} = 2l\sqrt{2}$

Для нахождения площади треугольника $ABC$ нам нужно знать длины его катетов. Пусть $AC = BC = a$. По теореме Пифагора для $△ABC$:

$AC^2 + BC^2 = AB^2$

$a^2 + a^2 = (2l\sqrt{2})^2$

$2a^2 = 4l^2 \cdot 2$

$2a^2 = 8l^2$

$a^2 = 4l^2$

Площадь прямоугольного треугольника $ABC$ вычисляется по формуле:

$S_{△ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2}a^2$

Подставим найденное значение $a^2$:

$S_{△ABC} = \frac{1}{2}(4l^2) = 2l^2$

Ответ: $2l^2$.