Номер 364, страница 133 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

364. Плоскости квадрата $KMNP$ и ромба $KMDF$ перпендикулярны. Найдите $FN$, учитывая, что сторона ромба и угол $KMD$ соответственно равны $a$ и $60^\circ$.

По условию задачи, $KMNP$ — это квадрат, а $KMDF$ — это ромб. У них есть общая сторона $KM$. Плоскости, в которых лежат эти фигуры, перпендикулярны.

Сторона ромба $KMDF$ равна $a$, следовательно, все его стороны равны $a$: $KM = MD = DF = FK = a$. Поскольку $KMNP$ — это квадрат с общей стороной $KM$, то и его стороны равны $a$: $KM = MN = NP = PK = a$. Угол ромба $∠KMD$ равен $60°$.

Чтобы найти расстояние $FN$ между точками $F$ и $N$, которые лежат в разных плоскостях, мы можем использовать пространственную теорему Пифагора. Для этого опустим перпендикуляр $FH$ из точки $F$ на плоскость квадрата $(KMNP)$.

Так как плоскость ромба $(KMDF)$ перпендикулярна плоскости квадрата $(KMNP)$ и они пересекаются по прямой $KM$, то перпендикуляр, опущенный из любой точки плоскости ромба на плоскость квадрата, будет падать на линию их пересечения $KM$. Таким образом, точка $H$ (основание перпендикуляра $FH$) лежит на прямой, содержащей отрезок $KM$.

В результате мы получаем прямоугольный треугольник $ΔFHN$, в котором $∠FHN = 90°$ (поскольку $FH$ перпендикулярна плоскости $(KMNP)$, а отрезок $HN$ лежит в этой плоскости). По теореме Пифагора для этого треугольника: $FN^2 = FH^2 + HN^2$. Теперь нам нужно найти длины катетов $FH$ и $HN$.

1. Найдём длину $FH$.

$FH$ — это высота треугольника $ΔFKM$, опущенная из вершины $F$ на прямую $KM$. В ромбе $KMDF$ углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$. Следовательно, $∠FKM = 180° - ∠KMD = 180° - 60° = 120°$. Поскольку угол $∠FKM$ тупой, основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $KM$ за точку $K$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔFKH$, где $∠FKH$ — это угол, смежный с $∠FKM$ на прямой, проходящей через $K$ и $M$, поэтому $∠FKH = 180° - 120° = 60°$. В прямоугольном треугольнике $ΔFKH$ (с гипотенузой $FK = a$):

• Катет $FH$ равен: $FH = FK \cdot \sin(∠FKH) = a \cdot \sin(60°) = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Катет $KH$ равен: $KH = FK \cdot \cos(∠FKH) = a \cdot \cos(60°) = a \frac{1}{2}$.

2. Найдём длину $HN$.

Точки $H$, $K$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости (плоскости квадрата). Точки $H$, $K$, $M$ лежат на одной прямой, причем в порядке $H$ — $K$ — $M$. В квадрате $KMNP$ сторона $MN$ перпендикулярна стороне $KM$, т.е. $∠KMN = 90°$. Рассмотрим треугольник $ΔHMN$ в плоскости квадрата. Он является прямоугольным, так как $∠HMN = ∠KMN = 90°$. Длины его катетов:

• $MN = a$ (сторона квадрата).
• $HM = HK + KM = \frac{a}{2} + a = \frac{3a}{2}$.

По теореме Пифагора для $ΔHMN$: $HN^2 = HM^2 + MN^2 = (\frac{3a}{2})^2 + a^2 = \frac{9a^2}{4} + a^2 = \frac{9a^2 + 4a^2}{4} = \frac{13a^2}{4}$.

3. Найдём длину $FN$.

Теперь вернемся к нашему исходному прямоугольному треугольнику $ΔFHN$ и подставим найденные значения квадратов катетов $FH^2$ и $HN^2$: $FH^2 = (a \frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3a^2}{4}$. $HN^2 = \frac{13a^2}{4}$.

$FN^2 = FH^2 + HN^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{13a^2}{4} = \frac{16a^2}{4} = 4a^2$.

Извлекая квадратный корень, получаем длину $FN$: $FN = \sqrt{4a^2} = 2a$.

Ответ: $2a$.