Номер 516, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

516. В основании прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб, $\angle BCD = 60^\circ$, $AB = 2$, $AA_1 = AC$, точки $K$, $P$, $M$ — середины рёбер $AD$, $AB$ и $A_1B_1$ соответственно. Найдите расстояние между прямыми:

a) $AC$ и $MB_1$;

б) $BC$ и $PC_1$;

в) $KM$ и $CD$;

г) $KP$ и $MC$;

д) $MD_1$ и $C_1K$;

е) $C_1P$ и $DM$.

Для решения задачи введем правую декартову систему координат. В основании призмы лежит ромб $ABCD$ со стороной $AB=2$ и углом $\angle BCD = 60°$. Следовательно, смежный с ним угол $\angle DAB = 180° - 60° = 120°$. Однако, в ромбе противолежащие углы равны, поэтому $\angle DAB = \angle BCD = 60°$ и $\angle ABC = \angle ADC = 120°$. Это означает, что треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$ являются равносторонними со стороной 2.

Поместим начало координат в вершину $A(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AD$. Тогда вершины основания имеют координаты:

• $A(0,0,0)$
• $D(2,0,0)$ (т.к. $AD=2$)
• $B(2 \cos(60^\circ), 2 \sin(60^\circ), 0) = (1, \sqrt{3}, 0)$
• $C = B + \vec{AD} = (1, \sqrt{3}, 0) + (2,0,0) = (3, \sqrt{3}, 0)$

Высота призмы $h = AA_1$. По условию $AA_1 = AC$. Найдем длину диагонали $AC$:

$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(3-0)^2 + (\sqrt{3}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9+3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Таким образом, высота призмы $h = 2\sqrt{3}$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Координаты вершин верхнего основания:

• $A_1(0,0, 2\sqrt{3})$
• $B_1(1, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$
• $C_1(3, \sqrt{3}, 2\sqrt{3})$
• $D_1(2, 0, 2\sqrt{3})$

Найдем координаты заданных точек $K, P, M$:

• $K$ — середина $AD$: $K(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0,0)$
• $P$ — середина $AB$: $P(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $M$ — середина $A_1B_1$: $M(\frac{0+1}{2}, \frac{0+\sqrt{3}}{2}, \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $T_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а вторая — через точку $T_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле смешанного произведения:

$d = \frac{|\vec{T_1T_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$.

а) AC и MB₁

Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $z=0$. Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$, поэтому прямая $MB_1$ совпадает с прямой $A_1B_1$. Прямая $A_1B_1$ лежит в плоскости верхнего основания $z = 2\sqrt{3}$.

Направляющий вектор прямой $AC$: $\vec{v_1} = \vec{AC} = (3, \sqrt{3}, 0)$. Направляющий вектор прямой $A_1B_1$: $\vec{v_2} = \vec{A_1B_1} = (1, \sqrt{3}, 0)$. Обе прямые лежат в горизонтальных плоскостях (их z-координаты постоянны), т.е. они параллельны плоскости $Oxy$. Общий перпендикуляр к ним будет параллелен оси $Oz$. Расстояние между прямыми равно расстоянию между плоскостями, в которых они лежат.

Расстояние равно $h = 2\sqrt{3}$.

Ответ: $$2\sqrt{3}$$

б) BC и PC₁

Для прямой $BC$: точка $B(1, \sqrt{3}, 0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BC} = (2,0,0)$, можно взять $\vec{u_1} = (1,0,0)$. Для прямой $PC_1$: точка $P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{PC_1} = C_1 - P = (3 - \frac{1}{2}, \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3} - 0) = (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$. Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{PB} = B - P = (1 - \frac{1}{2}, \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Векторное произведение: $\vec{n} = \vec{u_1} \times \vec{v_2} = (1,0,0) \times (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) = (0, -2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. Модуль векторного произведения: $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{12 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{51}{4}} = \frac{\sqrt{51}}{2}$. Смешанное произведение: $\vec{PB} \cdot \vec{n} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, -2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}(-2\sqrt{3}) + 0 = -3$. Расстояние: $d = \frac{|-3|}{\sqrt{51}/2} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{6\sqrt{51}}{51} = \frac{2\sqrt{51}}{17}$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{51}}{17}$$

в) KM и CD

Для прямой $KM$: точка $K(1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{KM} = M-K = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2\sqrt{3}-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$. Для прямой $CD$: точка $D(2,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{CD} = D-C = (2-3, 0-\sqrt{3}, 0-0) = (-1, -\sqrt{3}, 0)$. Вектор, соединяющий точки: $\vec{DK} = K-D = (1-2, 0-0, 0-0) = (-1,0,0)$. Векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) \times (-1, -\sqrt{3}, 0) = (6, -2\sqrt{3}, \sqrt{3})$. Модуль: $|\vec{n}| = \sqrt{6^2 + (-2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{36+12+3} = \sqrt{51}$. Смешанное произведение: $\vec{DK} \cdot \vec{n} = (-1,0,0) \cdot (6, -2\sqrt{3}, \sqrt{3}) = -6$. Расстояние: $d = \frac{|-6|}{\sqrt{51}} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{2\sqrt{51}}{17}$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{51}}{17}$$

г) KP и MC

Для прямой $KP$: точка $K(1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{KP} = P-K = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Для прямой $MC$: точка $M(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{MC} = C-M = (3-\frac{1}{2}, \sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0-2\sqrt{3}) = (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3})$. Вектор, соединяющий точки: $\vec{KM} = M-K = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$. Векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \times (\frac{5}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}) = (-3, -\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2})$. Модуль: $|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9+3+\frac{27}{4}} = \sqrt{12+\frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{48+27}{4}} = \sqrt{\frac{75}{4}} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$. Смешанное произведение: $\vec{KM} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) \cdot (-3, -\sqrt{3}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - 9 = -9$. Расстояние: $d = \frac{|-9|}{5\sqrt{3}/2} = \frac{18}{5\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{15} = \frac{6\sqrt{3}}{5}$.

Ответ: $$\frac{6\sqrt{3}}{5}$$

д) MD₁ и C₁K

Для прямой $MD_1$: точка $M(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{MD_1} = D_1-M = (2-\frac{1}{2}, 0-\frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Для прямой $C_1K$: точка $K(1,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{C_1K} = K-C_1 = (1-3, 0-\sqrt{3}, 0-2\sqrt{3}) = (-2, -\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$. Вектор, соединяющий точки: $\vec{KM} = M-K = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$. Векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \times (-2, -\sqrt{3}, -2\sqrt{3}) = (3, 3\sqrt{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{2})$. Модуль: $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 + (-\frac{5\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{9+27+\frac{75}{4}} = \sqrt{36+\frac{75}{4}} = \sqrt{\frac{144+75}{4}} = \frac{\sqrt{219}}{2}$. Смешанное произведение: $\vec{KM} \cdot \vec{n} = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) \cdot (3, 3\sqrt{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} - 15 = 3-15 = -12$. Расстояние: $d = \frac{|-12|}{\sqrt{219}/2} = \frac{24}{\sqrt{219}} = \frac{24\sqrt{219}}{219} = \frac{8\sqrt{219}}{73}$.

Ответ: $$\frac{8\sqrt{219}}{73}$$

е) C₁P и DM

Для прямой $C_1P$: точка $P(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{C_1P} = P-C_1 = (\frac{1}{2}-3, \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}, 0-2\sqrt{3}) = (-\frac{5}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3})$. Для прямой $DM$: точка $D(2,0,0)$, направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{DM} = M-D = (\frac{1}{2}-2, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 2\sqrt{3}-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3})$. Вектор, соединяющий точки: $\vec{DP} = P-D = (\frac{1}{2}-2, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Векторное произведение: $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-\frac{5}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}) \times (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 2\sqrt{3}) = (0, 8\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$. Модуль: $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (8\sqrt{3})^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{192+12} = \sqrt{204} = 2\sqrt{51}$. Смешанное произведение: $\vec{DP} \cdot \vec{n} = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \cdot (0, 8\sqrt{3}, -2\sqrt{3}) = 0 + \frac{\sqrt{3}}{2}(8\sqrt{3}) + 0 = 12$. Расстояние: $d = \frac{|12|}{2\sqrt{51}} = \frac{6}{\sqrt{51}} = \frac{6\sqrt{51}}{51} = \frac{2\sqrt{51}}{17}$.

Ответ: $$\frac{2\sqrt{51}}{17}$$