Номер 5, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Нарисуйте призму $ABCDEF PQRSTU$, основания которой — правильные шестиугольники. Назовите:

а) плоскости, пересекающиеся с плоскостью $UQR$;

б) плоскости, пересекающиеся с прямой $FT$.

Для решения задачи сначала представим и опишем заданную призму. Призма $ABCDEFPQRSTU$ имеет в основаниях два правильных шестиугольника. Исходя из стандартного порядка именования вершин, примем, что $ABCDEF$ — это вершины нижнего основания, а $PQRSTU$ — вершины верхнего основания. При этом вершины соединены боковыми ребрами в следующем порядке: $A$ с $P$, $B$ с $Q$, $C$ с $R$, $D$ с $S$, $E$ с $T$ и $F$ с $U$. Таким образом, призма имеет 8 плоскостей, образующих ее поверхность: 2 плоскости оснований и 6 плоскостей боковых граней.

• Плоскость нижнего основания: $(ABCDEF)$
• Плоскость верхнего основания: $(PQRSTU)$
• Плоскости боковых граней: $(ABQP)$, $(BCRQ)$, $(CDSR)$, $(DETS)$, $(EFUT)$, $(FAUP)$

Теперь ответим на вопросы задачи.

а) плоскости, пересекающиеся с плоскостью UQR;

Плоскость $UQR$ определяется тремя точками: $U$, $Q$ и $R$. Все эти точки являются вершинами верхнего основания $PQRSTU$. Так как эти три точки не лежат на одной прямой, они однозначно задают плоскость, в которой лежит верхнее основание. Таким образом, плоскость $UQR$ совпадает с плоскостью верхнего основания $(PQRSTU)$.

Две плоскости пересекаются, если они не параллельны. Найдем все плоскости призмы, которые не параллельны плоскости $(PQRSTU)$.

1. Плоскость нижнего основания $(ABCDEF)$ параллельна плоскости верхнего основания $(PQRSTU)$. Следовательно, она не пересекает плоскость $UQR$.
2. Все шесть боковых граней призмы не параллельны плоскостям оснований. Каждая боковая грань пересекает плоскость верхнего основания по ребру, принадлежащему этому основанию.
   • Плоскость $(ABQP)$ пересекает $(PQRSTU)$ по прямой $PQ$.
   • Плоскость $(BCRQ)$ пересекает $(PQRSTU)$ по прямой $QR$.
   • Плоскость $(CDSR)$ пересекает $(PQRSTU)$ по прямой $RS$.
   • Плоскость $(DETS)$ пересекает $(PQRSTU)$ по прямой $ST$.
   • Плоскость $(EFUT)$ пересекает $(PQRSTU)$ по прямой $TU$.
   • Плоскость $(FAUP)$ пересекает $(PQRSTU)$ по прямой $UP$.

Таким образом, с плоскостью $UQR$ пересекаются все шесть боковых граней призмы.

Ответ: $(ABQP)$, $(BCRQ)$, $(CDSR)$, $(DETS)$, $(EFUT)$, $(FAUP)$.

б) плоскости, пересекающиеся с прямой FT.

Прямая $FT$ соединяет вершину $F$ нижнего основания и вершину $T$ верхнего основания. Согласно нашему описанию призмы, боковые ребра, выходящие из этих вершин, — это $FU$ и $ET$. Значит, $FT$ не является боковым ребром, а является диагональю призмы (в данном случае — диагональю боковой грани $EFUT$).

Прямая пересекает плоскость, если она имеет с ней хотя бы одну общую точку. Это возможно, если прямая пронзает плоскость в одной точке или если прямая целиком лежит в этой плоскости. Проверим каждую из восьми плоскостей призмы.

1. Плоскость нижнего основания $(ABCDEF)$ содержит точку $F$. Так как точка $T$ не лежит в этой плоскости, прямая $FT$ не лежит в ней, а пересекает ее в точке $F$.
2. Плоскость верхнего основания $(PQRSTU)$ содержит точку $T$. Так как точка $F$ не лежит в этой плоскости, прямая $FT$ пересекает ее в точке $T$.
3. Плоскость боковой грани $(EFUT)$ содержит вершины $E, F, U, T$. Следовательно, она содержит и точки $F$, и $T$. Это означает, что вся прямая $FT$ лежит в плоскости $(EFUT)$. Значит, они пересекаются.
4. Плоскость боковой грани $(FAUP)$ содержит точку $F$. Точка $T$ не принадлежит этой плоскости, поэтому прямая $FT$ пересекает эту плоскость в точке $F$.
5. Плоскость боковой грани $(DETS)$ содержит точку $T$. Точка $F$ не принадлежит этой плоскости, поэтому прямая $FT$ пересекает эту плоскость в точке $T$.
6. Плоскость боковой грани $(BCRQ)$. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, то есть $BC \parallel FE$. В призме боковые ребра параллельны, то есть $BQ \parallel FU$. Так как две пересекающиеся прямые $BC$ и $BQ$ в плоскости $(BCRQ)$ параллельны двум пересекающимся прямым $FE$ и $FU$ в плоскости $(EFUT)$, то эти плоскости параллельны: $(BCRQ) \parallel (EFUT)$. Прямая $FT$ лежит в плоскости $(EFUT)$, следовательно, она параллельна плоскости $(BCRQ)$ и не пересекает ее.
7. Плоскости боковых граней $(ABQP)$ и $(CDSR)$. Прямая $FT$ проходит через внутреннюю область призмы. Она не параллельна этим граням. Следовательно, прямая $FT$ пересекает каждую из этих плоскостей в некоторой точке.

Итак, прямая $FT$ пересекает семь из восьми плоскостей, образующих поверхность призмы.

Ответ: $(ABCDEF)$, $(PQRSTU)$, $(ABQP)$, $(CDSR)$, $(DETS)$, $(EFUT)$, $(FAUP)$.