Номер 6, страница 135 - гдз по алгебре 11 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.6. При каких значениях параметра $b$ уравнение $1 + 2x - bx = 4 + x$ имеет отрицательное решение?

Для того чтобы найти значения параметра $b$, при которых уравнение имеет отрицательное решение, сначала решим данное уравнение относительно $x$.
Исходное уравнение:
$1 + 2x - bx = 4 + x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую часть:

$2x - bx - x = 4 - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях. В левой части вынесем $x$ за скобки:

$x(2 - b - 1) = 3$
$x(1 - b) = 3$

Далее возможны два случая:

1. Коэффициент при $x$ равен нулю:
$1 - b = 0 \Rightarrow b = 1$.
В этом случае уравнение принимает вид $x \cdot 0 = 3$, то есть $0 = 3$. Это неверное равенство, следовательно, при $b=1$ уравнение не имеет решений.

2. Коэффициент при $x$ не равен нулю:
$1 - b \neq 0 \Rightarrow b \neq 1$.
В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(1 - b)$ и найти единственное решение:
$x = \frac{3}{1 - b}$

По условию задачи, решение должно быть отрицательным, то есть $x < 0$. Составим и решим неравенство:

$\frac{3}{1 - b} < 0$

Дробь отрицательна, когда ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель $3$ — положительное число, то для выполнения неравенства знаменатель должен быть отрицательным:

$1 - b < 0$

Решим это простое неравенство относительно $b$:

$1 < b$
или
$b > 1$

Таким образом, уравнение имеет отрицательное решение при всех значениях $b$, больших 1.

Ответ: при $b > 1$.